В математическом классе учатся 22 ребёнка, а в филологическом - 17 детей. Для участия в олимпиадах нужно выбрать пятерых учеников математического класса и семерых учеников…

Чтобы найти количество способов выбора пятерых учеников из математического класса и семерых учеников из филологического класса, будем использовать формулу сочетаний:

\[ C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!} \]

где \(n\) - общее количество учеников, \(k\) - количество выбираемых учеников, а \(n!\) - факториал числа \(n\).

1. Количество способов выбрать пятерых учеников в математическом классе:

В математическом классе 22 ученика, и мы выбираем 5:

\[ C(22, 5) = \frac{22!}{5!(22-5)!} = \frac{22!}{5! \cdot 17!} \]

Это можно упростить до:

\[ C(22, 5) = \frac{22 \times 21 \times 20 \times 19 \times 18}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 26334 \]

2. Количество способов выбрать семерых учеников в филологическом классе:

В филологическом классе 17 учеников, и мы выбираем 7:

\[ C(17, 7) = \frac{17!}{7!(17-7)!} = \frac{17!}{7! \cdot 10!} \]

Это можно упростить до:

\[ C(17, 7) = \frac{17 \times 16 \times 15 \times 14 \times 13 \times 12 \times 11}{7 \times 6 \times 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1} = 19448 \]

3. Всего комбинаций:

Для нахождения общего числа способов выбираем и математических, и филологических учеников, нужно перемножить найденные количества:

\[ \text{Всего комбинаций} = C(22, 5) \times C(17, 7) = 26334 \times 19448 = 512328297 \]

Теперь можем занести числа в поля ответа:

Количество способов выбрать пятерых учеников в математическом классе: 26334

Количество способов выбрать семерых учеников в филологическом классе: 19448

Всего комбинаций: 512328297