Чему равна высота трапеции  M N K L MNKL, если  M ( − 1 ; − 3 ) M(−1;−3),  N ( − 3 ; 3 ) N(−3;3),  K ( 3 ; 5 ) K(3;5),  L ( 8 ; 0 ) L(8;0

Для нахождения высоты трапеции M N K L, заданной координатами её вершин, необходимо понять, какая из оснований M N и K L является параллельной. В данной трапеции M N и K L – это два отрезка, которые следует проверить на параллельность.

Сначала можно вычислить длины отрезков оснований:

1. Длина основания M N:

   • \( M(-1, -3) \)
   • \( N(-3, 3) \)

   Чтобы найти длину отрезка M N, используем формулу для расстояния между двумя точками: \[ d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставляем координаты: \[ d_{MN} = \sqrt{((-3) - (-1))^2 + (3 - (-3))^2} = \sqrt{(-2)^2 + (6)^2} = \sqrt{4 + 36} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10} \]

2. Длина основания K L:

   • \( K(3, 5) \)
   • \( L(8, 0) \)

   Подставляем координаты в ту же формулу: \[ d_{KL} = \sqrt{(8 - 3)^2 + (0 - 5)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-5)^2} = \sqrt{25 + 25} = \sqrt{50} = 5\sqrt{2} \]

Теперь необходимо найти наклоны отрезков M N и K L, чтобы определить, параллельны ли они:

• Наклон отрезка \( M N \): \[ k_{MN} = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{3 - (-3)}{-3 - (-1)} = \frac{6}{-2} = -3 \]

• Наклон отрезка \( K L \): \[ k_{KL} = \frac{0 - 5}{8 - 3} = \frac{-5}{5} = -1 \]

Поскольку наклоны отрезков разные, M N и K L не параллельны, и, следовательно, трапеция имеет вид прямоугольника.

Чтобы найти высоту трапеции, можно использовать расстояние от одной из вершин одного из оснований до прямой, содержащей другое основание. Выразим уравнение прямой KL в общем виде: \[ y - y_1 = m(x - x_1) \] где \( m \) – наклон, а \( (x_1, y_1) \) – одна из точек на прямой, в данном случае \( K(3, 5) \): \[ y - 5 = -1(x - 3) \implies y = -x + 8 \]

Теперь найдем расстояние от точки M до этой прямой: Расстояние \( d \) от точки \( (x_0, y_0) \) до прямой \( Ax + By + C = 0\) вычисляется по формуле: \[ d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} \]

Переписываем уравнение прямой в стандартном виде: \[ x + y - 8 = 0 \quad \text{(где } A = 1, B = 1, C = -8\text{)} \] Подставим координаты точки M: \[ d = \frac{|1 \cdot (-1) + 1 \cdot (-3) - 8|}{\sqrt{1^2 + 1^2}} = \frac{|-1 - 3 - 8|}{\sqrt{2}} = \frac{|-12|}{\sqrt{2}} = \frac{12}{\sqrt{2}} = 6\sqrt{2} \]

Таким образом, высота трапеции M N K L равна \( 6\sqrt{2} \).