(х^2–16)(х+17)>0

Для решения неравенства \((x^2 - 16)(x + 17) > 0\) нужно сначала упростить его.

1. Найдите корни уравнения: Для начала определим, когда каждая составляющая равна нулю.

   • \(x^2 - 16 = 0\) ⇒ \(x^2 = 16\) ⇒ \(x = 4\) и \(x = -4\).
   • \(x + 17 = 0\) ⇒ \(x = -17\).

2. Определите критические точки: Критическими точками являются \(x = -17\), \(x = -4\) и \(x = 4\). Эти точки делят числовую ось на интервалы.

3. Проверьте знаки в каждом из интервалов:

   • Интервалы: \( (-\infty, -17) \), \( (-17, -4) \), \( (-4, 4) \), \( (4, +\infty) \).

Теперь подставим точки из каждого интервала в выражение \((x^2 - 16)(x + 17)\):

• Для \(x < -17\) (например, \(x = -20\)): \(((-20)^2 - 16)(-20 + 17) = (400 - 16)(-3) = 384 \cdot (-3) < 0\).

• Для \(-17 < x < -4\) (например, \(x = -10\)): \(((-10)^2 - 16)(-10 + 17) = (100 - 16)(7) = 84 \cdot 7 > 0\).

• Для \(-4 < x < 4\) (например, \(x = 0\)): \((0^2 - 16)(0 + 17) = (-16)(17) < 0\).

• Для \(x > 4\) (например, \(x = 5\)): \((5^2 - 16)(5 + 17) = (25 - 16)(22) = 9 \cdot 22 > 0\).

4. Соберите результаты:

   • Знак выражения положителен на интервалах \((-17, -4)\) и \((4, +\infty)\).

5. Финальный ответ: Таким образом, решение неравенства \((x^2 - 16)(x + 17) > 0\) будет: \[ x \in (-17, -4) \cup (4, +\infty) \].