Решить систему x²-3y²=4 x+y=6
Давайте решим данную систему уравнений:
- \( x^2 - 3y^2 = 4 \)
- \( x + y = 6 \)
Сначала выразим переменную \( x \) через \( y \) из второго уравнения:
\[ x = 6 - y \]
Теперь подставим это значение \( x \) в первое уравнение:
\[ (6 - y)^2 - 3y^2 = 4 \]
Раскроем скобки:
\[ (6 - y)(6 - y) = 36 - 12y + y^2 \]
Итак, у нас получается:
\[ 36 - 12y + y^2 - 3y^2 = 4 \]
Упрощаем уравнение:
\[ 36 - 12y - 2y^2 = 4 \]
Теперь перенесем 4 на левую сторону:
\[ 36 - 4 - 12y - 2y^2 = 0 \]
Упрощаем дальше:
\[ 32 - 12y - 2y^2 = 0 \]
Теперь умножим всё на -1, чтобы сделать главный коэффициент положительным:
\[ 2y^2 + 12y - 32 = 0 \]
Разделим уравнение на 2:
\[ y^2 + 6y - 16 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы корней:
\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]
где \( a = 1, b = 6, c = -16 \).
Считаем дискриминант:
\[ D = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-16) = 36 + 64 = 100 \]
Теперь подставим дискриминант в формулу:
\[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{100}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 10}{2} \]
Находим два значения для \( y \):
- \( y_1 = \frac{4}{2} = 2 \)
- \( y_2 = \frac{-16}{2} = -8 \)
Теперь подставим эти значения \( y \) обратно в уравнение \( x + y = 6 \) для нахождения соответствующих значений \( x \):
Для \( y_1 = 2 \):
\[ x + 2 = 6 \implies x = 4 \]
Для \( y_2 = -8 \):
\[ x - 8 = 6 \implies x = 14 \]
Итак, у нас есть два решения:
- \( (x, y) = (4, 2) \)
- \( (x, y) = (14, -8) \)
Эти пары являются решениями данной системы уравнений.
