Ответить на вопросы 1. Назовите свойства производной, если функция: 1) возрастает на данном промежутке; 2) убывает на данном промежутке; 3) имеет максимум в данной точке; 4) имеет минимум в данной точке; 5) выпукла вверх на данном промежутке; 6) выпукла вниз на данном промежутке; 7) имеет перегиб в данной точке. 2. Назовите свойства функции, если ее производная: 1) положительна на данном промежутке; 2) отрицательна на данном промежутке; 3) обратилась в нуль в данной точке и при переходе через нее сменила знак “ニジHa <+>； 4) обратилась в нуль в данной точке и при переходе через нее сменила знак “+→Ha ＜ール； 5) имеет экстремум в данной точке; 6) монотонна на данном промежутке. 3. Является ли условие обращения производной в нуль достаточным условием эк тремума функции? 4. Как искать наибольшие и наименьшие значения функции, зная ее точки з кального экстремума?

Давайте по порядку рассмотрим ваши вопросы.

1. Свойства производной функции:

1. Возрастает на данном промежутке: Производная функции положительна на данном промежутке. \( f'(x) > 0 \).

2. Убывает на данном промежутке: Производная функции отрицательна на данном промежутке. \( f'(x) < 0 \).

3. Имеет максимум в данной точке: Производная функции в этой точке равна нулю и меняет знак с плюса на минус: \( f'(x_0) = 0 \), и \( f'(x) > 0 \) для \( x < x_0 \), \( f'(x) < 0 \) для \( x > x_0 \).

4. Имеет минимум в данной точке: Производная функции в этой точке равна нулю и меняет знак с минуса на плюс: \( f'(x_0) = 0 \), и \( f'(x) < 0 \) для \( x < x_0 \), \( f'(x) > 0 \) для \( x > x_0 \).

5. Выпукла вверх на данном промежутке: Производная функции возрастает на данном промежутке, то есть \( f''(x) > 0 \).

6. Выпукла вниз на данном промежутке: Производная функции убывает на данном промежутке, то есть \( f''(x) < 0 \).

7. Имеет перегиб в данной точке: В этой точке вторая производная равна нулю и меняет знак: \( f''(x_0) = 0 \).

2. Свойства функции, если ее производная:

1. Положительна на данном промежутке: Функция возрастает на данном промежутке. \( f'(x) > 0 \Rightarrow f(x) \text{ возрастает} \).

2. Отрицательна на данном промежутке: Функция убывает на данном промежутке. \( f'(x) < 0 \Rightarrow f(x) \text{ убывает} \).

3. Обратилась в нуль в данной точке и при переходе через нее сменила знак с отрицательного на положительный: В этой точке функция имеет минимум. \( f'(x_0) = 0 \) и \( f'(x) < 0 \) при \( x < x_0 \) и \( f'(x) > 0 \) при \( x > x_0 \).

4. Обратилась в нуль в данной точке и при переходе через нее сменила знак с положительного на отрицательный: В этой точке функция имеет максимум. \( f'(x_0) = 0 \) и \( f'(x) > 0 \) при \( x < x_0 \) и \( f'(x) < 0 \) при \( x > x_0 \).

5. Имеет экстремум в данной точке: Производная равна нулю в этой точке, но нужно проверить, меняет ли она знак. То есть, \( f'(x_0) = 0 \).

6. Монотонна на данном промежутке: Если производная положительна на всем промежутке, функция возрастает; если отрицательна, функция убывает.

3. Является ли условие обращения производной в нуль достаточным условием экстремума функции?

Нет, это условие не является достаточным. Обращение производной в ноль (то есть \( f'(x_0) = 0 \)) может указывать на наличие экстремума, но не гарантирует его. Важно также проверить знак производной по обе стороны от данной точки. Это может быть и точка перегиба или точка, где функция не имеет экстремума.

4. Как искать наибольшие и наименьшие значения функции, зная ее точки локального экстремума?

Для поиска наибольших и наименьших значений функции на заданном промежутке:

1. Находите точки локального экстремума (где производная равна нулю или не существует).
2. Вычисляете значение функции в этих точках.
3. Проверяете значения функции на границах заданного промежутка.
4. Сравниваете все эти значения, чтобы определить абсолютные наибольшее и наименьшее значения функции на данном промежутке.

Помните, что наибольшее и наименьшее значение могут быть как локальными, так и глобальными в зависимости от рассматриваемого промежутка.