Найти наименьшую и наибольшую значение от y=-x3+9x2-24x

Чтобы найти наименьшее и наибольшее значения функции \( y = -x^3 + 9x^2 - 24x \), нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции.
2. Решить уравнение производной, равное нулю.
3. Определить критические точки.
4. Проанализировать значения функции в критических точках и на границах интервала (если он задан).

1. Найдем производную функции:

\[ y' = \frac{dy}{dx} = -3x^2 + 18x - 24 \]

2. Найдем критические точки, приравняв производную к нулю:

\[ -3x^2 + 18x - 24 = 0 \]

Упростим уравнение, поделив на -3:

\[ x^2 - 6x + 8 = 0 \]

Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{6 + \sqrt{4}}{2} = \frac{6 + 2}{2} = 4 \] \[ x_2 = \frac{6 - \sqrt{4}}{2} = \frac{6 - 2}{2} = 2 \]

Таким образом, критические точки: \( x = 2 \) и \( x = 4 \).

3. Найдем значения функции в критических точках:

\[ y(2) = -2^3 + 9 \cdot 2^2 - 24 \cdot 2 \] \[ = -8 + 36 - 48 = -20 \]

\[ y(4) = -4^3 + 9 \cdot 4^2 - 24 \cdot 4 \] \[ = -64 + 144 - 96 = -16 \]

4. Пример ираспределения значений:

• \( y(2) = -20 \)
• \( y(4) = -16 \)

Таким образом, наименьшее значение \( y = -20 \) в точке \( x = 2 \) и наибольшее значение \( y = -16 \) в точке \( x = 4 \).

Ответ:

Наименьшее значение \( y = -20 \) при \( x = 2 \) и наибольшее значение \( y = -16 \) при \( x = 4 \).