Для решения задачи воспользуемся известной формулой, связывающей наименьшее общее кратное (НОК) и наибольший общий делитель (НОД) двух натуральных чисел a и b:
[ \text{НОК}(a, b) \cdot \text{НОД}(a, b) = a \cdot b. ]
В данной задаче нам дано условие:
[ \text{НОК}(a, b) + \text{НОД}(a, b) = a + b + 6. ]
Обозначим НОД(a, b) как d. Тогда можно выразить a и b через d:
[ a = d \cdot m, \quad b = d \cdot n, ]
где m и n — взаимно простые числа (то есть НОД(m, n) = 1).
Таким образом, НОК(a, b) можно выразить как:
[ \text{НОК}(a, b) = \frac{a \cdot b}{\text{НОД}(a, b)} = \frac{d \cdot m \cdot d \cdot n}{d} = d \cdot m \cdot n. ]
Теперь подставим все выражения в исходное уравнение:
[ d \cdot m \cdot n + d = d \cdot m + d \cdot n + 6. ]
Если вынести d за скобки, получаем:
[ d \cdot (m \cdot n + 1) = d \cdot (m + n) + 6. ]
После этого упрощаем уравнение:
[ d \cdot m \cdot n + d - d \cdot m - d \cdot n = 6, ]
что можно записать как:
[ d(m \cdot n - m - n + 1) = 6. ]
Теперь будет полезно рассмотреть возможные значения d, так как d должно быть делителем 6. Делители 6: 1, 2, 3, 6.
Если d = 1:
[ m \cdot n - m - n + 1 = 6 ]
[ m \cdot n - m - n = 5. ]
Упрощая это уравнение, получаем:
[ (m - 1)(n - 1) = 6. ]
Возможные пары (m-1, n-1): (1, 6), (2, 3), (3, 2), (6, 1).
Это дает:
- (2, 7) → a = 2, b = 1
- (3, 4) → a = 3, b = 1 или наоборот
- (7, 2) → a = 1, b = 7 или наоборот.
НОК(1, 2) = 2, НОК(1, 3) = 3, НОК(1, 7) = 7, НОК(2, 3) = 6, НОК(2, 7) = 14.
Если d = 2:
[ 2(m \cdot n - m - n + 1) = 6 ]
[ m \cdot n - m - n + 1 = 3 ]
[ (m - 1)(n - 1) = 4. ]
Возможные пары (m-1, n-1): (1, 4), (2, 2), (4, 1).
НОК(3, 2) = 6 (т.к. m=n=2 это дает и не взаимно простые).
Если d = 3:
[ 3(m \cdot n - m - n + 1) = 6 ]
[ m \cdot n - m - n + 1 = 2 ]
[ (m - 1)(n - 1) = 3. ]
Пары (m-1, n-1): (1, 3), (3, 1).
НОК(2, 3) = 6 или НОК(1, 4) = 4.
Если d = 6:
[ 6(m \cdot n - m - n + 1) = 6 ]
[ m \cdot n - m - n + 1 = 1 ]
[ (m - 1)(n - 1) = 2. ]
Пары (1, 2), (2, 1).
Отсюда получаем возможные НОК(a, b): 6, 12, 14 по всем комбинациям.
Таким образом, наименьшие такие НОК(a, b) будут:
[ \text{Ответ: } 6, 12, 14. ]
