Решите уравнение в целых числах: 9m² - 72mn + 143n² = 0, где n и m взаимно просты. В ответе укажите число m. Если правильных ответов несколько, введите их в любом порядке через…

Для решения уравнения \( 9m² - 72mn + 143n² = 0 \), где \( n \) и \( m \) взаимно просты, начнем с применения метода дискриминанта.

Уравнение можно воспринимать как квадратное относительно \( m \): \[ A = 9, \quad B = -72n, \quad C = 143n². \]

Вычислим дискриминант \( D \): \[ D = B² - 4AC = (-72n)² - 4 \cdot 9 \cdot 143n². \] \[ D = 5184n² - 5148n² = 36n². \]

Так как \( D = 36n² \), то у нас есть: \[ \sqrt{D} = 6n. \]

Теперь найдем корни уравнения: \[ m = \frac{-B \pm \sqrt{D}}{2A} = \frac{72n \pm 6n}{18}. \]

Это дает нам два корня:

1. \( m_1 = \frac{72n + 6n}{18} = \frac{78n}{18} = \frac{39n}{9} = \frac{13n}{3} \) (недопустимое, если \( n \) — целое число).
2. \( m_2 = \frac{72n - 6n}{18} = \frac{66n}{18} = \frac{11n}{3} \) (также недопустимое).

Таким образом, необходимо, чтобы \( n \) было таким, чтобы \( \frac{11n}{3} \) и \( \frac{13n}{3} \) были целыми числами. Это возможно, если \( n \) делится на 3. Обозначим \( n = 3k \) для некоторого целого \( k \).

Подставим \( n = 3k \):

• Для корня \( m_1 = \frac{13n}{3} = \frac{13 \cdot 3k}{3} = 13k \).
• Для корня \( m_2 = \frac{11n}{3} = \frac{11 \cdot 3k}{3} = 11k \).

Теперь m может принимать значения \( 13k \) и \( 11k \). Так как \( n \) и \( m \) должны быть взаимно простыми, посчитаем возможные значения \( k \), при которых \( n = 3k \) и \( m \) не имеют общих делителей.

Если \( k = 1 \), то:

• \( n = 3 \), \( m = 13 \) (взаимно простые).
• \( n = 3 \), \( m = 11 \) (также взаимно простые).

Если \( k = 2 \) или больше, значения \( n \) и \( m \) перестают быть взаимно простыми.

Таким образом, целые числа \( m = 11 \) и \( m = 13 \) являются решениями.

Ответ: \( 11, 13 \)