1-2sin²x-cos²2x=0

Для решения уравнения \(1 - 2\sin^2{x} - \cos^2{2x} = 0\), можем начать с замены \(\cos{2x}\) на его формулу через синус. Мы знаем, что:

\[ \cos{2x} = 1 - 2\sin^2{x} \]

Таким образом, \(\cos^2{2x}\) можно выразить как:

\[ \cos^2{2x} = (1 - 2\sin^2{x})^2 \]

Теперь подставим это выражение в уравнение:

\[ 1 - 2\sin^2{x} - (1 - 2\sin^2{x})^2 = 0 \]

Раскроем скобки:

\[ 1 - 2\sin^2{x} - (1 - 4\sin^2{x} + 4\sin^4{x}) = 0 \]

Это приводит к следующему:

\[ 1 - 2\sin^2{x} - 1 + 4\sin^2{x} - 4\sin^4{x} = 0 \]

Собирая подобные члены, получаем:

\[ (4\sin^2{x} - 2\sin^2{x}) - 4\sin^4{x} = 0 \]

или

\[ 2\sin^2{x} - 4\sin^4{x} = 0 \]

Теперь выделим \(\sin^2{x}\):

\[ 2\sin^2{x}(1 - 2\sin^2{x}) = 0 \]

Теперь у нас есть два возможных решения:

1. \(2\sin^2{x} = 0\), что означает \(\sin^2{x} = 0\) или \(\sin{x} = 0\). Это происходит, когда \(x = n\pi\), где \(n\) — целое число.

2. \(1 - 2\sin^2{x} = 0\), что означает \(2\sin^2{x} = 1\) или \(\sin^2{x} = \frac{1}{2}\). Это значит, что \(\sin{x} = \frac{\sqrt{2}}{2}\) или \(\sin{x} = -\frac{\sqrt{2}}{2}\). Эти решения происходят при:

\[ x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]

Таким образом, окончательные решения этого уравнения:

\[ x = n\pi \quad \text{и} \quad x = \frac{\pi}{4} + k\pi, \text{ где } n, k \in \mathbb{Z}. \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или вам нужна помощь с другими задачами, не стесняйтесь спрашивать!