Найдите точки экстремума функции y=e^{x^4- 2x^2}.

Чтобы найти точки экстремума функции y=e^{x^4- 2x^2}, необходимо найти значения x, при которых производная функции равна нулю или не существует. Затем проверяются значения второй производной для определения типа экстремума.

Производная функции y=e^{x^4- 2x^2} равна:

y' = 4x^3e^{x^4- 2x^2} - 4x(e^{x^4- 2x^2})

Выражение равно нулю, когда:

4x^3e^{x^4- 2x^2} - 4x(e^{x^4- 2x^2}) = 0

Сокращаем на 4x(e^{x^4- 2x^2}):

x^3 = 1

Таким образом, x = 1 является одним из значения, при котором производная равна нулю.

Теперь проверим значения второй производной, чтобы определить тип экстремума. Возьмем производную второго порядка:

y'' = 12x^2e^{x^4- 2x^2} - 4(e^{x^4- 2x^2}) + 8x^2(e^{x^4- 2x^2})

Подставим x = 1:

y''(1) = 12e^{1^4- 2(1^2)} - 4(e^{1^4- 2(1^2)}) + 8(1^2)(e^{1^4- 2(1^2)})

y''(1) = 12e^{-1} - 4e^{-1} + 8e^{-1}

y''(1) = 16e^{-1} > 0

Так как вторая производная положительна, точка x = 1 является точкой минимума для данной функции.

Таким образом, точка экстремума функции y=e^{x^4- 2x^2} - x = 1, y = e^{-1}.