Длина линии пересечения сферы и плоскости, проходящей через конец диаметра под углом 60° к нему, равна 5п см. Найдите диаметр сферы

Для решения данной задачи воспользуемся свойствами сферы и плоскости.

Дано:

• Длина линии пересечения сферы и плоскости: \(L = 5\pi\) см.
• Плоскость проходит через один из концов диаметра сферы под углом 60° к диаметру.

Рассмотрим более подробно. Если плоскость проходит через конец диаметра и образует угол 60° с ним, то радиус сферы будет определять максимальное расстояние от центра сферы до линии пересечения с плоскостью.

Линия пересечения сферы и плоскости, если её проекция на плоскость перпендикулярна диаметру, представляет собой окружность. Длина этой окружности вычисляется по формуле:

\[ L = 2\pi r' \]

где \(r'\) – это радиус окружности, которая равна:

\[ r' = R \sin(\theta) \]

Здесь \(R\) – радиус сферы, \(\theta\) – угол между диаметром (или радиусом) и нормалью к плоскости, в данном случае \(\theta = 60°\).

Воспользуемся известной формулой:

\[ L = 2\pi R \sin(60°) \]

Известно, что \(\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}\). Подставим это значение в формулу:

\[ 5\pi = 2\pi R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

Упростим уравнение:

\[ 5 = 2R \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} \]

\[ 5 = R\sqrt{3} \]

Теперь найдем радиус:

\[ R = \frac{5}{\sqrt{3}} \]

Чтобы найти диаметр сферы, умножим радиус на 2:

\[ d = 2R = 2 \cdot \frac{5}{\sqrt{3}} = \frac{10}{\sqrt{3}} \]

Окончательно можем выразить диаметр в более привычной форме:

\[ d \approx \frac{10\sqrt{3}}{3} \text{ см} \quad (\text{после упрощения}) \]

Итак, диаметр сферы равен \(\frac{10}{\sqrt{3}}\) см или приблизительно 5.77 см.