Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедренная трапеция ABCD (AB∥CD). Известно, что AB=8,CD=2,AD=5, боковое ребро призмы AA1 равно 2. Найдите отношение, в котором плоскость (ABC1) делит площадь полной поверхности призмы. S1 :S2= :

Question 1

Задача Задача №2465520

А

Аноним

10 декабря 2024 20:07 · публичный вопрос

А

Аноним 10 декабря 2024 20:07

Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедренная трапеция ABCD (AB∥CD). Известно, что AB=8,CD=2,AD=5, боковое ребро призмы AA1 равно 2. Найдите отношение, в котором плоскость (ABC1) делит площадь полной поверхности призмы. S1 :S2= :

Answer

Для решения задачи сначала найдем площадь полной поверхности прямой призмы ABCDA1B1C1D1. Полная поверхность призмы состоит из двух оснований (трапеции ABCD) и четырех боковых граней (прямоугольников AABB1, BCC1B1, CDD1D1 и DAA1D1).

Найдем площадь основания ABCD.

Площадь трапеции можно вычислить по формуле:

\[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \]

Где \( AB = 8 \), \( CD = 2 \), а \( h \) — высота трапеции. Нам нужно найти высоту \( h \), которую можно узнать, используя теорему Пифагора.

Так как ABCD — равнобедренная трапеция, обозначим длину боковых сторон \( AD = 5 \).

Обозначим высоту трапеции \( h \), расстояние от прямой \( CD \) до точки \( A \). Мы можем выразить \( h \) через \( AD \) и половину разности оснований:

\[ h = \sqrt{AD^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2} \]

Подставим известные значения:

\[ h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{8 - 2}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \]

Теперь можем найти площадь основания:

\[ S_{ABCD} = \frac{(8 + 2) \cdot 4}{2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \]

Найдем площадь боковых граней.

Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы (длина бокового ребра) на длину соответствующего ребра основания.

Площадь AABB1 = \( AB \cdot AA1 = 8 \cdot 2 = 16 \)
Площадь BCC1B1 = \( BC \cdot AA1 \), где \( BC = \sqrt{AD^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \), значит \( BCC1B1 = 3 \cdot 2 = 6 \)
Площадь CDD1D1 = \( CD \cdot AA1 = 2 \cdot 2 = 4 \)
Площадь DAA1D1 = \( DA \cdot AA1 = 5 \cdot 2 = 10 \)

Тогда общая площадь боковых граней:

\[ S_{боковые} = 16 + 6 + 4 + 10 = 36 \]

Площадь полной поверхности призмы.

\[ S_{полная} = 2 \cdot S_{ABCD} + S_{боковые} = 2 \cdot 20 + 36 = 40 + 36 = 76 \]

Площадь сеченной призмы.

Плоскость (ABC1) делит призму. Площадь сечения будет равна площади основания ABCD, умноженной на высоту от C1 до A (все точки ABC1 проекция на плоскость, перпендикулярную к основанию):

Площадь ABC1 = S_{ABCD} (площадь основания) + S_{боковые, секущие} = 20 + 6 = 26 (так как плоскость ABC1 проходит параллельно одной из граней, отсекая боковую сторону).

Итоговое отношение.

Площадь ABC1 = 26, площадь остальной части = S_{полная} - S^{сеч} = 76 - 26 = 50.

Итак, отношение площадей, в котором плоскость (ABC1) делит площадь полной поверхности призмы:

\[ S1:S2 = 26:50 = 13:25 \]

Таким образом, ответ:

\[ S1 : S2 = 13 : 25 \]

Question 2

Основание прямой призмы ABCDA1B1C1D1 — равнобедренная трапеция ABCD (AB∥CD). Известно, что AB=8,CD=2,AD=5, боковое ребро призмы AA1 равно 2. Найдите отношение, в котором плоскость (ABC1) делит площадь полной поверхности призмы. S1 :S2= :

Answer

Для решения задачи сначала найдем площадь полной поверхности прямой призмы ABCDA1B1C1D1. Полная поверхность призмы состоит из двух оснований (трапеции ABCD) и четырех боковых граней (прямоугольников AABB1, BCC1B1, CDD1D1 и DAA1D1). 1. **Найдем площадь основания ABCD**. Площадь трапеции можно вычислить по формуле: \[ S = \frac{(AB + CD) \cdot h}{2} \] Где \( AB = 8 \), \( CD = 2 \), а \( h \) — высота трапеции. Нам нужно найти высоту \( h \), которую можно узнать, используя теорему Пифагора. Так как ABCD — равнобедренная трапеция, обозначим длину боковых сторон \( AD = 5 \). Обозначим высоту трапеции \( h \), расстояние от прямой \( CD \) до точки \( A \). Мы можем выразить \( h \) через \( AD \) и половину разности оснований: \[ h = \sqrt{AD^2 - \left(\frac{AB - CD}{2}\right)^2} \] Подставим известные значения: \[ h = \sqrt{5^2 - \left(\frac{8 - 2}{2}\right)^2} = \sqrt{25 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4 \] Теперь можем найти площадь основания: \[ S_{ABCD} = \frac{(8 + 2) \cdot 4}{2} = \frac{10 \cdot 4}{2} = 20 \] 2. **Найдем площадь боковых граней**. Площадь каждой боковой грани равна произведению высоты призмы (длина бокового ребра) на длину соответствующего ребра основания. - Площадь AABB1 = \( AB \cdot AA1 = 8 \cdot 2 = 16 \) - Площадь BCC1B1 = \( BC \cdot AA1 \), где \( BC = \sqrt{AD^2 - h^2} = \sqrt{5^2 - 4^2} = \sqrt{25 - 16} = \sqrt{9} = 3 \), значит \( BCC1B1 = 3 \cdot 2 = 6 \) - Площадь CDD1D1 = \( CD \cdot AA1 = 2 \cdot 2 = 4 \) - Площадь DAA1D1 = \( DA \cdot AA1 = 5 \cdot 2 = 10 \) Тогда общая площадь боковых граней: \[ S_{боковые} = 16 + 6 + 4 + 10 = 36 \] 3. **Площадь полной поверхности призмы**. \[ S_{полная} = 2 \cdot S_{ABCD} + S_{боковые} = 2 \cdot 20 + 36 = 40 + 36 = 76 \] 4. **Площадь сеченной призмы**. Плоскость (ABC1) делит призму. Площадь сечения будет равна площади основания ABCD, умноженной на высоту от C1 до A (все точки ABC1 проекция на плоскость, перпендикулярную к основанию): Площадь ABC1 = S_{ABCD} (площадь основания) + S_{боковые, секущие} = 20 + 6 = 26 (так как плоскость ABC1 проходит параллельно одной из граней, отсекая боковую сторону). 5. **Итоговое отношение**. Площадь ABC1 = 26, площадь остальной части = S_{полная} - S^{сеч} = 76 - 26 = 50. Итак, отношение площадей, в котором плоскость (ABC1) делит площадь полной поверхности призмы: \[ S1:S2 = 26:50 = 13:25 \] Таким образом, ответ: \[ S1 : S2 = 13 : 25 \]