Вершины треугольника являются центрами попарно касающихся друг друга внешним образом окружностей с радиусами 2,3 и 10. Найдите радиус окружности, вписанной в данный треугольник

Давайте обозначим радиусы внешних окружностей, описанных около вершин треугольника, как \( R_a = 2 \), \( R_b = 3 \) и \( R_c = 10 \). Чтобы найти радиус вписанной окружности \( r \) треугольника, воспользуемся формулой, связывающей радиусы вписанной окружности и внешних окружностей:

\[ \frac{1}{r} = \frac{1}{R_a} + \frac{1}{R_b} + \frac{1}{R_c} \]

Теперь подставим значения радиусов:

\[ \frac{1}{r} = \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{10} \]

Найдем общий знаменатель для дробей \( 2 \), \( 3 \) и \( 10 \). Общий знаменатель равен \( 30 \):

\[ \frac{1}{r} = \frac{15}{30} + \frac{10}{30} + \frac{3}{30} = \frac{15 + 10 + 3}{30} = \frac{28}{30} = \frac{14}{15} \]

Теперь найдем \( r \):

\[ r = \frac{15}{14} \]

Таким образом, радиус окружности, вписанной в данный треугольник, равен \( \frac{15}{14} \).