Найти корни (x²-5x-13)²=(x²+10x+17)²
Для решения уравнения \((x^2 - 5x - 13)^2 = (x^2 + 10x + 17)^2\) можно воспользоваться методом разности квадратов.
Начнем с того, что у нас есть два квадрата, и мы можем записать уравнение следующим образом:
\[ A^2 = B^2 \]
где \(A = x^2 - 5x - 13\) и \(B = x^2 + 10x + 17\).
Из свойства равенства квадратов следует, что:
\[ A = B \quad \text{или} \quad A = -B \]
Рассмотрим первый случай:
- Случай 1: \(A = B\)
\[ x^2 - 5x - 13 = x^2 + 10x + 17 \]
Упрощаем:
\[ -5x - 13 = 10x + 17 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ -5x - 10x - 13 - 17 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ -15x - 30 = 0 \]
Решаем уравнение:
\[ -15x = 30 \implies x = -2 \]
- Случай 2: \(A = -B\)
\[ x^2 - 5x - 13 = - (x^2 + 10x + 17) \]
Упрощаем:
\[ x^2 - 5x - 13 = -x^2 - 10x - 17 \]
Переносим все члены в одну сторону:
\[ x^2 + x^2 - 5x + 10x - 13 + 17 = 0 \]
Это упрощается до:
\[ 2x^2 + 5x + 4 = 0 \]
Теперь решим это квадратное уравнение с помощью формулы дискриминанта:
\[ D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 25 - 32 = -7 \]
Поскольку дискриминант отрицательный, корней у этого уравнения нет в действительных числах.
Таким образом, имеем единственный действительный корень из первого случая:
\[ x = -2 \]
Итак, ответ: корень уравнения равен \(x = -2\).
