(x²+3x)²+6(x²+3x)+8=0

Решим уравнение \((x^2 + 3x)^2 + 6(x^2 + 3x) + 8 = 0\).

Для удобства введем новую переменную \(y = x^2 + 3x\). Теперь наше уравнение можно переписать следующим образом:

\[ y^2 + 6y + 8 = 0. \]

Это квадратное уравнение, и его можно решить с помощью формулы для корней квадратного уравнения:

\[ y = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}, \]

где \(a = 1\), \(b = 6\) и \(c = 8\).

Подставим значения:

1. Сначала вычислим дискриминант: \[ D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 36 - 32 = 4. \]

2. Теперь найдём корни: \[ y = \frac{-6 \pm \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-6 \pm 2}{2}. \] Это даст нам два значения для \(y\): \[ y_1 = \frac{-6 + 2}{2} = \frac{-4}{2} = -2, \] \[ y_2 = \frac{-6 - 2}{2} = \frac{-8}{2} = -4. \]

Теперь мы имеем два уравнения:

1. \(x^2 + 3x = -2\)
2. \(x^2 + 3x = -4\)

Решим первое уравнение:

\[ x^2 + 3x + 2 = 0. \]

Факторизуем его:

\[ (x + 1)(x + 2) = 0. \]

Таким образом, \(x_1 = -1\) и \(x_2 = -2\).

Теперь решим второе уравнение:

\[ x^2 + 3x + 4 = 0. \]

Рассчитаем его дискриминант:

\[ D = 3^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 9 - 16 = -7. \]

Поскольку дискриминант отрицательный, у этого уравнения нет действительных корней.

Итак, подводя итог, у уравнения \((x^2 + 3x)^2 + 6(x^2 + 3x) + 8 = 0\) есть два действительных корня:

\(x_1 = -1\) и \(x_2 = -2\).