Сторона основания правильной треугольной призмы 18 см а диагональ боковой грани образуется с плоскостью основания угол 45°. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра вписанного в данную призму
Чтобы найти площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в правильную треугольную призму, нужно сначала рассмотреть ее характеристики.
Определение параметров призмы:
- Основание призмы является правильным треугольником со стороной \(a = 18 \, \text{см}\).
- Высота \(h\) боковой грани образует с плоскостью основания угол \(45^\circ\).
Нахождение высоты боковой грани: Угол \(45^\circ\) означает, что высота боковой грани равна длине отрезка, который можно провести от вершины боковой грани, перпендикулярно основанию. Кроме того, высота боковой грани можно выразить как высоту призмы (высота от основания до верхнего треугольника): \[ h = a \cdot \tan(45^\circ) = 18 \, \text{см} \cdot 1 = 18 \, \text{см} \]
Вписанный цилиндр: Ключевым моментом является то, что вписанный цилиндр имеет радиус, равный радиусу описанной окружности правильного треугольника. Радиус описанной окружности \(R\) соответствует формуле: \[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{18}{\sqrt{3}} = 6\sqrt{3} \, \text{см} \]
Нахождение площади боковой поверхности цилиндра: Площадь боковой поверхности цилиндра \(S_{\text{бок}}\) рассчитывается по формуле: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi r h \] где \( r = R = 6\sqrt{3} \, \text{см} \) и \( h = 18 \, \text{см} \).
Подставляя значения, получим: \[ S_{\text{бок}} = 2 \pi (6\sqrt{3}) (18) = 216 \sqrt{3} \pi \, \text{см}^2 \]
Таким образом, площадь боковой поверхности цилиндра, вписанного в данную правильную треугольную призму, составляет \( 216 \sqrt{3} \pi \, \text{см}^2 \).
