Найти область определения функции f(x)=√x^2-1

Чтобы найти область определения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \), нужно убедиться, что подкоренное выражение не отрицательное, так как квадратный корень из отрицательного числа не определён в вещественных числах.

Итак, мы должны решить неравенство:

\[ x^2 - 1 \geq 0 \]

Добавим 1 к обеим сторонам:

\[ x^2 \geq 1 \]

Теперь решим это неравенство. Можно выразить его как:

\[ x^2 - 1 \geq 0 \]

Или, используя разложение на множители:

\[ (x - 1)(x + 1) \geq 0 \]

Теперь находим нули выражения: \( x = 1 \) и \( x = -1 \). Эти значения разделяют числовую прямую на три интервала:

1. \( (-\infty, -1) \)
2. \( [-1, 1] \)
3. \( (1, +\infty) \)

Теперь проверим знаки на этих интервалах:

• Для интервала \( (-\infty, -1) \) (например, \( x = -2 \)): \[ (-2 - 1)(-2 + 1) = (-3)(-1) = 3 \geq 0 \]

• Для интервала \( [-1, 1] \) (например, \( x = 0 \)): \[ (0 - 1)(0 + 1) = (-1)(1) = -1 < 0 \]

• Для интервала \( (1, +\infty) \) (например, \( x = 2 \)): \[ (2 - 1)(2 + 1) = (1)(3) = 3 \geq 0 \]

Таким образом, функция определена для интервалов \( (-\infty, -1] \) и \( [1, +\infty) \).

Следовательно, область определения функции \( f(x) = \sqrt{x^2 - 1} \) записывается как:

\[ D(f) = (-\infty, -1] \cup [1, +\infty) \]

Если у вас есть дополнительные вопросы или нужно разъяснить что-то конкретное, пишите!