3x² - 5x - 22 > 0
Чтобы решить неравенство \(3x² - 5x - 22 > 0\), давайте сделаем несколько шагов:
Найдем корни соответствующего уравнения: Для начала нужно решить уравнение \(3x² - 5x - 22 = 0\). Используем дискриминант \(D\):
\[ D = b² - 4ac \]
Где \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -22\). Подставляем:
\[ D = (-5)² - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289 \]
Находим корни уравнения с помощью формулы корней квадратного уравнения:
\[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]
Подставляем значения:
\[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{289}}{6} = \frac{5 \pm 17}{6} \]
Корни:
\[ x_1 = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \quad \text{и} \quad x_2 = \frac{-12}{6} = -2 \]
Рисуем число с учетом найденных корней. У нас есть корни \(x_1 = -2\) и \(x_2 = \frac{11}{3}\). Это делит ось на три промежутка:
- \( (-\infty, -2) \)
- \( (-2, \frac{11}{3}) \)
- \( (\frac{11}{3}, +\infty) \)
Проверяем знак в каждом промежутке:
- Выберем точку из первого промежутка, например, \(x = -3\): \[ 3(-3)² - 5(-3) - 22 = 27 + 15 - 22 = 20 > 0 \]
- Из второго промежутка, например, \(x = 0\): \[ 3(0)² - 5(0) - 22 = -22 < 0 \]
- Из третьего промежутка, например, \(x = 4\): \[ 3(4)² - 5(4) - 22 = 48 - 20 - 22 = 6 > 0 \]
Записываем решение: Неравенство \(3x² - 5x - 22 > 0\) выполняется на промежутках:
- \(x \in (-\infty, -2)\) и \(x \in \left(\frac{11}{3}, +\infty\right)\)
Таким образом, полное решение неравенства:
\[ x \in (-\infty, -2) \cup \left(\frac{11}{3}, +\infty\right) \]
