3x² - 5x - 22 > 0

Чтобы решить неравенство \(3x² - 5x - 22 > 0\), начнём с нахождения корней соответствующего уравнения \(3x² - 5x - 22 = 0\).

Для этого используем формулу корней квадратного уравнения: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b² - 4ac}}{2a} \] где \(a = 3\), \(b = -5\), \(c = -22\).

Сначала вычислим дискриминант \(D\): \[ D = b² - 4ac = (-5)² - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289 \]

Теперь можно найти корни: \[ x = \frac{-(-5) \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 17}{6} \]

Это даёт нам два корня:

1. \(x_1 = \frac{5 + 17}{6} = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \approx 3.67\)
2. \(x_2 = \frac{5 - 17}{6} = \frac{-12}{6} = -2\)

Теперь у нас есть три интервала, которые нужно проверить:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, \frac{11}{3}) \)
3. \( (\frac{11}{3}, \infty) \)

Для проверки, выбираем тестовые точки из каждого интервала.

1. Для интервала \((- \infty, -2)\), например, \(x = -3\): \[ 3(-3)² - 5(-3) - 22 = 27 + 15 - 22 = 20 > 0 \] Этот интервал удовлетворяет неравенству.

2. Для интервала \((-2, \frac{11}{3})\), например, \(x = 0\): \[ 3(0)² - 5(0) - 22 = -22 < 0 \] Этот интервал не удовлетворяет неравенству.

3. Для интервала \((\frac{11}{3}, \infty)\), например, \(x = 4\): \[ 3(4)² - 5(4) - 22 = 48 - 20 - 22 = 6 > 0 \] Этот интервал также удовлетворяет неравенству.

Таким образом, решение неравенства \(3x² - 5x - 22 > 0\) будет: \[ x \in (-\infty, -2) \cup \left( \frac{11}{3}, \infty \right) \]

Если вам нужна дополнительная помощь или разъяснения, не стесняйтесь спрашивать!