3x ² - 5x - 22 > 0

Чтобы решить неравенство \( 3x^2 - 5x - 22 > 0 \), сначала найдем корни соответствующего уравнения \( 3x^2 - 5x - 22 = 0 \) с помощью дискриминанта.

Дискриминант \( D \) можно вычислить по формуле: \[ D = b^2 - 4ac \] где \( a = 3 \), \( b = -5 \), \( c = -22 \).

Подставим значения в формулу: \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-22) = 25 + 264 = 289. \]

Теперь найдем корни уравнения с помощью формулы: \[ x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}. \]

Подставим значения: \[ x_{1,2} = \frac{5 \pm \sqrt{289}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 17}{6}. \]

Рассчитаем корни:

1. \( x_1 = \frac{22}{6} = \frac{11}{3} \).
2. \( x_2 = \frac{-12}{6} = -2 \).

Теперь у нас есть два корня: \( x_1 = \frac{11}{3} \) и \( x_2 = -2 \).

Теперь определим знаки выражения \( 3x^2 - 5x - 22 \) на интервалах, определяемых корнями:

1. \( (-\infty, -2) \)
2. \( (-2, \frac{11}{3}) \)
3. \( (\frac{11}{3}, +\infty) \)

Выберем тестовые точки для каждого интервала:

1. Для интервала \( (-\infty, -2) \) возьмем \( x = -3 \): \[ 3(-3)^2 - 5(-3) - 22 = 27 + 15 - 22 = 20 > 0 \Rightarrow \text{положительно} \]

2. Для интервала \( (-2, \frac{11}{3}) \) возьмем \( x = 0 \): \[ 3(0)^2 - 5(0) - 22 = -22 < 0 \Rightarrow \text{отрицательно} \]

3. Для интервала \( (\frac{11}{3}, +\infty) \) возьмем \( x = 4 \): \[ 3(4)^2 - 5(4) - 22 = 48 - 20 - 22 = 6 > 0 \Rightarrow \text{положительно} \]

Таким образом,

• \( 3x^2 - 5x - 22 > 0 \) на интервалах \( (-\infty, -2) \) и \( (\frac{11}{3}, +\infty) \).

Итак, ответ на неравенство: \[ x \in (-\infty, -2) \cup (\frac{11}{3}, +\infty). \]