На сторонах BC и CD параллелограмма ABCD выбраны точки M и N соответственно. Отрезки AM и BN пересекаются в точке Q. Найдите отношения AQ:QM и BQ:QN, если BM:MC=3:2 и CN:ND=5:1.

Давайте обозначим длины отрезков:

Пусть \( BM = 3x \) и \( MC = 2x \), тогда длина \( BC \) будет равна:

\[ BC = BM + MC = 3x + 2x = 5x. \]

Аналогично для отрезков \( CN \) и \( ND \):

Пусть \( CN = 5y \) и \( ND = y \), тогда длина \( CD \) будет равна:

\[ CD = CN + ND = 5y + y = 6y. \]

Так как ABCD — параллелограмм, стороны \( BC \) и \( AD \) равны, а также стороны \( AB \) и \( CD \) равны, значит \( 5x = 6y \).

Теперь найдем отношение \( AQ:QM \) и \( BQ:QN \) по теореме о пересечении отрезков (по теореме о сопоставлении):

\[ \frac{AQ}{QM} = \frac{BM}{MC} = \frac{3}{2}, \]

а также

\[ \frac{BQ}{QN} = \frac{CN}{ND} = \frac{5}{1}. \]

Таким образом, мы можем записать:

\[ \frac{AQ}{QM} = \frac{3}{2} \quad \text{и} \quad \frac{BQ}{QN} = \frac{5}{1}. \]

Итак, отношения \( AQ:QM \) и \( BQ:QN \) равны соответственно \( 3:2 \) и \( 5:1 \).