На занятии в математическом кружке предложили сыграть в игру и на доске написали некоторое число. По условиям, можно стереть последнюю цифру или прибавить к написанному числу 2018 и записать полученную сумму, при этом стереть предыдущее число. Играет один человек и указанные действия в любом порядке можно выполнять неограниченное число раз. Получится ли при каком-нибудь исходе увидеть на доске число 3?
Чтобы решить эту задачу, давайте рассмотрим доступные операции и возможные исходы.
Убираем последнюю цифру числа. Это действие приводит к тому, что мы можем, например, из числа 2018 получить 201, из 201 — 20, из 20 — 2, и из 2 — 0. Как видно, мы можем уменьшать число.
Прибавляем 2018 к текущему числу. Это действие (например, из 2 можем получить 2020) может увеличивать число, но мы также можем комбинировать его с первым действием.
Теперь проанализируем, как с помощью этих действий можно получить число 3:
- Если мы начинаем с числа 2018 и убираем последнюю цифру, получим 201.
- С 201 убираем последнюю цифру, получаем 20.
- С 20 убираем последнюю цифру, получаем 2.
- Дальше, прибавив 2018 к 2, мы получаем 2020. Затем можно снова убирать последнюю цифру — 202, потом 20, потом 2, и так далее.
Мы можем также проверить более мелкие числа. Например, если начнем с 3, то, убирая последнюю цифру, получим 0, и дальше ничего не сможем сделать, кроме как добавлять 2018, и 3 из этого не получится.
Важно заметить, что при каждом прибавлении 2018 число по сути будет увеличиваться и лишь убирание последней цифры может привести нас к меньшим числам. Однако, на каждом шаге, добавляя 2018, мы не можем получить число, которое напрямую ведет к 3, так как все числа получается при добавлении будут больше 2 или 0, при этом убирая последнюю цифру не выводит нас на 3.
Таким образом, нет вероятности, что следуя описанным правилам и используя данные операции, на доске в конечном итоге получится число 3.
