Y=x³/6-x²+3x-1 определить точки экстремума, промежутки монотонности,точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости

Question 1

Задача Задача №2467723

А

Аноним

11 декабря 2024 06:48 · публичный вопрос

А

Аноним 11 декабря 2024 06:48

Y=x³/6-x²+3x-1 определить точки экстремума, промежутки монотонности,точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости

Answer

Чтобы определить точки экстремума, промежутки монотонности, точки перегиба, а также промежутки выпуклости и вогнутости функции \( y = \frac{x^3}{6} - x^2 + 3x - 1 \), необходимо выполнить следующее:

1. Находим производную функции

Сначала найдем первую производную функции \( y' \):

\[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{6} - x^2 + 3x - 1\right) = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 - 2x + 3 = \frac{x^2}{2} - 2x + 3 \]

2. Определяем точки экстремума

Для нахождения точек экстремума решим уравнение \( y' = 0 \):

\[ \frac{x^2}{2} - 2x + 3 = 0 \]

Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[ x^2 - 4x + 6 = 0 \]

Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта:

\[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 \]

Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет вещественных корней. Это означает, что функция не имеет точек экстремума и является монотонной.

3. Определяем промежутки монотонности

Чтобы понять, в каких направлениях функция монотонна, исследуем знак производной на всей числовой прямой. Поскольку наименьшее значение \( y' \) не зависит от \( x \) и равно \( \frac{x^2}{2} - 2x + 3 \) всегда положительно (дискриминант отрицательный), функция возрастает на всей своей области определения.

4. Находим вторую производную

Для определения точек перегиба и выпуклости необходимо найти вторую производную \( y'' \):

\[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} - 2x + 3\right) = x - 2 \]

5. Определяем точки перегиба

Найдем точки, где вторая производная равна нулю:

\[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \]

6. Исследуем знак второй производной

Теперь проанализируем знак второй производной:

Для \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y''(0) = 0 - 2 = -2 \quad (\text{вогнутость}) \]
Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ y''(3) = 3 - 2 = 1 \quad (\text{выпуклость}) \]

7. Результаты

Точки экстремума: нет.
Промежутки монотонности: функция возрастает на \( (-\infty, +\infty) \).
Точки перегиба: \( x = 2 \).
Промежутки вогнутости: \( (-\infty, 2) \).
Промежутки выпуклости: \( (2, +\infty) \).

Эти шаги и выводы дадут вам четкое понимание поведения функции. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!

Question 2

Y=x³/6-x²+3x-1 определить точки экстремума, промежутки монотонности,точки перегиба, промежутки выпуклости и вогнутости

Answer

Чтобы определить точки экстремума, промежутки монотонности, точки перегиба, а также промежутки выпуклости и вогнутости функции \( y = \frac{x^3}{6} - x^2 + 3x - 1 \), необходимо выполнить следующее: ### 1. Находим производную функции Сначала найдем первую производную функции \( y' \): \[ y' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^3}{6} - x^2 + 3x - 1\right) = \frac{1}{6} \cdot 3x^2 - 2x + 3 = \frac{x^2}{2} - 2x + 3 \] ### 2. Определяем точки экстремума Для нахождения точек экстремума решим уравнение \( y' = 0 \): \[ \frac{x^2}{2} - 2x + 3 = 0 \] Умножим на 2, чтобы избавиться от дроби: \[ x^2 - 4x + 6 = 0 \] Теперь решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: \[ D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 16 - 24 = -8 \] Так как дискриминант отрицательный, у уравнения нет вещественных корней. Это означает, что функция не имеет точек экстремума и является монотонной. ### 3. Определяем промежутки монотонности Чтобы понять, в каких направлениях функция монотонна, исследуем знак производной на всей числовой прямой. Поскольку наименьшее значение \( y' \) не зависит от \( x \) и равно \( \frac{x^2}{2} - 2x + 3 \) всегда положительно (дискриминант отрицательный), функция возрастает на всей своей области определения. ### 4. Находим вторую производную Для определения точек перегиба и выпуклости необходимо найти вторую производную \( y'' \): \[ y'' = \frac{d}{dx}\left(\frac{x^2}{2} - 2x + 3\right) = x - 2 \] ### 5. Определяем точки перегиба Найдем точки, где вторая производная равна нулю: \[ x - 2 = 0 \implies x = 2 \] ### 6. Исследуем знак второй производной Теперь проанализируем знак второй производной: - Для \( x < 2 \) (например, \( x = 0 \)): \[ y''(0) = 0 - 2 = -2 \quad (\text{вогнутость}) \] - Для \( x > 2 \) (например, \( x = 3 \)): \[ y''(3) = 3 - 2 = 1 \quad (\text{выпуклость}) \] ### 7. Результаты - **Точки экстремума**: нет. - **Промежутки монотонности**: функция возрастает на \( (-\infty, +\infty) \). - **Точки перегиба**: \( x = 2 \). - **Промежутки вогнутости**: \( (-\infty, 2) \). - **Промежутки выпуклости**: \( (2, +\infty) \). Эти шаги и выводы дадут вам четкое понимание поведения функции. Если есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!