решите уравнение f'(x) =0, если f(x) =2x-1/(x-1) ²
Чтобы решить уравнение f'(x) = 0 для функции \( f(x) = \frac{2x - 1}{(x - 1)^2} \), сначала найдем производную этой функции.
Мы будем использовать правило деления для нахождения производной. Если \( f(x) = \frac{u}{v} \), где \( u = 2x - 1 \) и \( v = (x - 1)^2 \), то производная \( f'(x) \) вычисляется по формуле:
\[ f'(x) = \frac{u'v - uv'}{v^2} \]
Теперь найдем производные \( u' \) и \( v' \):
- \( u = 2x - 1 \) ⇒ \( u' = 2 \)
- \( v = (x - 1)^2 \) ⇒ \( v' = 2(x - 1) \)
Подставляя \( u \), \( u' \), \( v \) и \( v' \) в формулу для производной, получаем:
\[ f'(x) = \frac{2 \cdot (x - 1)^2 - (2x - 1) \cdot 2(x - 1)}{(x - 1)^4} \]
Теперь упростим числитель:
Раскроем скобки: \[ 2(x - 1)^2 = 2(x^2 - 2x + 1) = 2x^2 - 4x + 2 \] \[ (2x - 1) \cdot 2(x - 1) = 2(2x - 1)(x - 1) = 4x^2 - 2x - 4x + 2 = 4x^2 - 6x + 2 \]
Теперь подставим: \[ f'(x) = \frac{(2x^2 - 4x + 2) - (4x^2 - 6x + 2)}{(x - 1)^4} \] \[ = \frac{2x^2 - 4x + 2 - 4x^2 + 6x - 2}{(x - 1)^4} = \frac{-2x^2 + 2x}{(x - 1)^4} \]
Упрощаем: \[ = \frac{-2x(x - 1)}{(x - 1)^4} = \frac{-2x}{(x - 1)^3} \]
Теперь у нас есть производная \( f'(x) = \frac{-2x}{(x - 1)^3} \).
Чтобы решить уравнение \( f'(x) = 0 \), равняем числитель нулю:
\[ -2x = 0 \]
Отсюда \( x = 0 \).
Таким образом, решением уравнения \( f'(x) = 0 \) является \( x = 0 \).
