В арифметической прогрессии 8 членов. Сумма членов с чётными номерами равна 36 а сумма членов с нечётными номерами равна 16 Найдите шестой член прогрессии
В арифметической прогрессии обозначим первый член как \( a \), а разность прогрессии как \( d \). В данной прогрессии 8 членов, и можем записать их так:
- Член 1: \( a \)
- Член 2: \( a + d \)
- Член 3: \( a + 2d \)
- Член 4: \( a + 3d \)
- Член 5: \( a + 4d \)
- Член 6: \( a + 5d \)
- Член 7: \( a + 6d \)
- Член 8: \( a + 7d \)
Теперь рассчитаем суммы членов с чётными и нечётными номерами.
Сумма членов с чётными номерами (члены 2, 4, 6, 8):
\[ S_{четные} = (a + d) + (a + 3d) + (a + 5d) + (a + 7d) = 4a + 16d \]
По условию, эта сумма равна 36:
\[ 4a + 16d = 36 \quad (1) \]
Сумма членов с нечётными номерами (члены 1, 3, 5, 7):
\[ S_{нечетные} = a + (a + 2d) + (a + 4d) + (a + 6d) = 4a + 12d \]
По условию, эта сумма равна 16:
\[ 4a + 12d = 16 \quad (2) \]
Теперь у нас есть система уравнений:
- \( 4a + 16d = 36 \)
- \( 4a + 12d = 16 \)
Вычтем уравнение (2) из уравнения (1):
\[ (4a + 16d) - (4a + 12d) = 36 - 16 \] \[ 4d = 20 \] \[ d = 5 \]
Теперь подставим значение \( d \) в любое из уравнений, например, в (2):
\[ 4a + 12 \cdot 5 = 16 \] \[ 4a + 60 = 16 \] \[ 4a = 16 - 60 \] \[ 4a = -44 \] \[ a = -11 \]
Теперь мы знаем первый член и разность прогрессии: \( a = -11 \) и \( d = 5 \).
Наконец, найдём шестой член прогрессии:
\[ a + 5d = -11 + 5 \cdot 5 = -11 + 25 = 14 \]
Таким образом, шестой член арифметической прогрессии равен \( 14 \).
