В арифметической прогрессии 8 членов. Сумма членов с чётными номерами равна 36 а сумма членов с нечётными номерами равна 16 Найдите шестой член прогрессии

В арифметической прогрессии сумма членов с чётными номерами и сумма членов с нечётными номерами могут быть выражены через первый член прогрессии \( a \) и разность \( d \).

Обозначим члены прогрессии:

• 1-й: \( a \)
• 2-й: \( a + d \)
• 3-й: \( a + 2d \)
• 4-й: \( a + 3d \)
• 5-й: \( a + 4d \)
• 6-й: \( a + 5d \)
• 7-й: \( a + 6d \)
• 8-й: \( a + 7d \)

Теперь, давайте найдем суммы:

Сумма членов с нечётными номерами (1, 3, 5, 7): \[ S_{\text{нечёт}} = a + (a + 2d) + (a + 4d) + (a + 6d) = 4a + 12d \] Дано, что \( S_{\text{нечёт}} = 16 \): \[ 4a + 12d = 16 \quad (1) \]

Сумма членов с чётными номерами (2, 4, 6, 8): \[ S_{\text{чёт}} = (a + d) + (a + 3d) + (a + 5d) + (a + 7d) = 4a + 16d \] Дано, что \( S_{\text{чёт}} = 36 \): \[ 4a + 16d = 36 \quad (2) \]

Теперь у нас есть система уравнений:

1. \( 4a + 12d = 16 \)
2. \( 4a + 16d = 36 \)

Выразим из уравнения (1): \[ 4a = 16 - 12d \quad \implies \quad a = 4 - 3d \quad (3) \]

Подставим (3) в уравнение (2): \[ 4(4 - 3d) + 16d = 36 \] \[ 16 - 12d + 16d = 36 \] \[ 16 + 4d = 36 \] \[ 4d = 36 - 16 \] \[ 4d = 20 \quad \implies \quad d = 5 \]

Теперь подставим значение \( d \) в (3): \[ a = 4 - 3 \cdot 5 = 4 - 15 = -11 \]

Итак, мы определили первый член и разность:

• \( a = -11 \)
• \( d = 5 \)

Теперь, чтобы найти шестой член прогрессии: \[ a + 5d = -11 + 5 \cdot 5 = -11 + 25 = 14 \]

Таким образом, шестой член прогрессии равен \( 14 \).