решите неравенство f'(x) >0, если f(x) = 2x-1/(x-1) ²
Чтобы решить неравенство f'(x) > 0 для функции \( f(x) = \frac{2x - 1}{(x - 1)^2} \), необходимо сначала найти производную функции \( f(x) \).
- Найдём производную \( f'(x) \):
Используем правило частного для нахождения производной:
\[ f'(x) = \frac{(g(x)h'(x) - h(x)g'(x))}{(h(x))^2}, \]
где \( g(x) = 2x - 1 \) и \( h(x) = (x - 1)^2 \).
Теперь найдём производные \( g'(x) \) и \( h'(x) \):
- \( g'(x) = 2 \)
- \( h(x) = (x - 1)^2 \) ⇒ \( h'(x) = 2(x - 1) \)
Подставим в формулу:
\[ f'(x) = \frac{(2x - 1) \cdot 2(x - 1) - (x - 1)^2 \cdot 2}{(x - 1)^4}. \]
Упростим числитель:
\[ = \frac{2(2x - 1)(x - 1) - 2(x - 1)^2}{(x - 1)^4} = \frac{2(x - 1)[(2x - 1) - (x - 1)]}{(x - 1)^4} = \frac{2(x - 1)(2x - 1 - x + 1)}{(x - 1)^4} = \frac{2(x - 1)(x)}{(x - 1)^4} = \frac{2x}{(x - 1)^3}. \]
Таким образом, мы получили:
\[ f'(x) = \frac{2x}{(x - 1)^3}. \]
- Решим неравенство \( f'(x) > 0 \):
Неравенство будет выполняться, когда числитель положителен и знаменатель положителен, или оба отрицательны.
- Числитель \( 2x > 0 \) ⇒ \( x > 0 \).
- Знаменатель \( (x - 1)^3 > 0 \) ⇒ \( x - 1 > 0 \) ⇒ \( x > 1 \).
Теперь, так как оба условия должны выполняться одновременно, рассматриваем их:
- Нам нужно, чтобы \( x > 1 \).
Таким образом, решение неравенства \( f'(x) > 0 \) будет:
\[ x > 1. \]
Это значит, что функция \( f(x) \) возрастает на интервале \( (1, +\infty) \).
