1. В партии из 8 деталей имеется 6 стандартных. Какова вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно 3 стандартных? 2. Четырехтомное собрание сочинений А.С. Пушкина расположено на полке в случайном порядке. Какова вероятность того, что тома стоят по порядку номеров? Цифры 1, 2, 3,4,5,6,7,8,9 выписанные на отдельные карточки складывают в ящик и тщательно перемешивают. Наугад вынимают одну карточку. Найти вероятность того, что число, написанное на этой карточке: а) нечетное; б) трехзначное

Давайте разберём ваши вопросы по очереди.

1. Вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно 3 стандартных:

У нас есть 8 деталей, из которых 6 стандартных и 2 нестандартных. Мы выбираем 5 деталей. Для решения этой задачи воспользуемся формулой биномиального распределения, а именно:

\[ P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^k \cdot (1-p)^{n-k} \]

где:

• \( n \) — общее количество испытаний (в нашем случае это 5, т.к. мы выбираем 5 деталей);
• \( k \) — количество успешных испытаний (в нашем случае это 3 стандарта);
• \( p \) — вероятность успеха в одном испытании (вероятность выбрать стандартную деталь);
• \( \binom{n}{k} \) — биномиальный коэффициент.

Сначала найдем количество способов выбрать 3 стандартные и 2 нестандартные детали. Это будет:

• Количество способов выбрать 3 стандартные детали из 6: \(\binom{6}{3}\)
• Количество способов выбрать 2 нестандартные детали из 2: \(\binom{2}{2}\)

Затем общее количество способов выбрать 5 деталей из 8: \(\binom{8}{5}\).

Теперь считаем:

1. \(\binom{6}{3} = \frac{6!}{3!(6-3)!} = 20\)
2. \(\binom{2}{2} = 1\)
3. \(\binom{8}{5} = \binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56\)

Таким образом, вероятность:

\[ P(X = 3) = \frac{\binom{6}{3} \cdot \binom{2}{2}}{\binom{8}{5}} = \frac{20 \cdot 1}{56} = \frac{20}{56} = \frac{5}{14} \]

Итак, вероятность того, что среди пяти взятых наугад деталей ровно 3 стандартных, равна \(\frac{5}{14}\).

2. Вероятность того, что тома стоят по порядку номеров:

Всего 4 тома могут быть расположены в любом порядке, это значит, что всего возможных перестановок 4-х томов будет \(4! = 24\).

Для того чтобы тома стояли по порядку, возможен только 1 вариант (1, 2, 3, 4). Таким образом, вероятность того, что тома находятся в порядке номером, равна:

\[ P = \frac{1}{4!} = \frac{1}{24} \]

3. Вероятность того, что число, написанное на карточке, нечетное:

На карточках записаны числа от 1 до 9. Нечетные числа среди них: 1, 3, 5, 7, 9. Их 5.

Общее количество карточек — 9. Вероятность того, что будет выбрано нечетное число:

\[ P(\text{нечетное}) = \frac{\text{количество нечетных чисел}}{\text{общее количество чисел}} = \frac{5}{9} \]

4. Вероятность того, что число трехзначное:

Карточки содержат числа от 1 до 9, и среди них нет трехзначных чисел. Таким образом, вероятность того, что будет выбрано трехзначное число равна 0:

\[ P(\text{трехзначное}) = 0 \]

Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать!