X²-5x+6≤0 x²+5x+6>0
Решим систему неравенств:
Первая часть неравенства: \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\)
Сначала найдем корни квадратного уравнения \(x^2 - 5x + 6 = 0\) с помощью формулы дискриминанта \(D = b^2 - 4ac\): \[ D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Корни уравнения будут: \[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + 1}{2} = 3, \quad x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - 1}{2} = 2 \] Таким образом, корни уравнения - \(x_1 = 2\) и \(x_2 = 3\).
Теперь нужно изучить знакquadratic-функции \(x^2 - 5x + 6\) на интервалах:
\( (-\infty, 2) \)
\( [2, 3] \)
\( (3, +\infty) \)
На интервале \( (-\infty, 2) \): подставим \(x = 0\): \(0^2 - 5 \cdot 0 + 6 = 6 > 0\)
На интервале \( [2, 3] \): возьмем точку \(x = 2.5\): \( (2.5)^2 - 5 \cdot 2.5 + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 \leq 0\)
На интервале \( (3, +\infty) \): подставим \(x = 4\): \(4^2 - 5 \cdot 4 + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0\)
Учитывая полученные результаты, неравенство \(x^2 - 5x + 6 \leq 0\) выполняется на интервале \([2, 3]\).
Вторая часть неравенства: \(x^2 + 5x + 6 > 0\)
Найдем корни уравнения \(x^2 + 5x + 6 = 0\) также с помощью дискриминанта: \[ D = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \] Корни: \[ x_1 = \frac{-5 + 1}{2} = -2, \quad x_2 = \frac{-5 - 1}{2} = -3 \] Таким образом, корни уравнения - \(x_1 = -2\) и \(x_2 = -3\).
Проводим анализ знаков:
- На интервале \( (-\infty, -3) \): например, подставим \(x = -4\): \((-4)^2 + 5 \cdot (-4) + 6 = 16 - 20 + 6 = 2 > 0\)
- На интервале \((-3, -2)\): подставим \(x = -2.5\): \((-2.5)^2 + 5 \cdot (-2.5) + 6 = 6.25 - 12.5 + 6 = -0.25 < 0\)
- На интервале \((-2, +\infty)\): подставим \(x = 0\): \(0^2 + 5 \cdot 0 + 6 = 6 > 0\)
Следовательно, неравенство \(x^2 + 5x + 6 > 0\) выполняется на интервалах \((- \infty, -3)\) и \((-2, +\infty)\).
Теперь объединим результаты:
- Для первого неравенства: \(x \in [2, 3]\)
- Для второго неравенства: \(x \in (-\infty, -3) \cup (-2, +\infty)\)
Общим решением системы неравенств будет множество \(x \in [2, 3]\), так как это единственная область, где оба условия выполняются.
