ЗАДАНИЯ 1 ВАРИАНТ 1. Укажите, какая из числовых последовательностей является геометрической прогрессией, поясните и найдите следующий член этой прогрессии: а) 3:5:7;...b) 2:6:18;... c) -0,2; 0,8;1,8;... 2. Пусть (6) геометрическая прогрессия. Найдите: а) четвертый член прогрессии, если в₁ = 2,q = 3 6) пятый член прогрессии, если 54 = 8 и b = 32; . Известны два члена геометрической прогрессии (6), b) =-3 и ве-24. Найдите сумму 101 первых 3 членов геометрической прогрессии. 4. Переведите десятичные периодические дроби в обыкновенные дроби: а) 0,(6) b) 1.2(3)

Конечно! Давайте последовательно разберемся с вашим заданием.

Задача 1: Геометрические прогрессии

1. Вам нужно определить, какая из числовых последовательностей является геометрической прогрессией. Геометрическая прогрессия — это такая последовательность, в которой каждый последующий член получается умножением предыдущего члена на одно и то же число (отношение), называемое знаменателем прогрессии (q).

   • а) 3; 5; 7

     • Здесь разность между числами не постоянна (5-3=2, 7-5=2), значит, это не геометрическая прогрессия.

   • б) 2; 6; 18

     • Проверяем:
       • 6/2 = 3
       • 18/6 = 3
     • Поскольку отношение постоянное (q=3), эта последовательность является геометрической прогрессией.
     • Следующий член: 18 * 3 = 54.

   • в) -0,2; 0,8; 1,8

     • Проверяем:
       • 0,8 / -0,2 = -4
       • 1,8 / 0,8 = 2.25
     • Здесь отношение не постоянное, значит, это не геометрическая прогрессия.

Таким образом, только последовательность 2; 6; 18 является геометрической прогрессией, и следующий член — 54.

Задача 2: Найти члены прогрессии

а) d=4, если \(v_1 = 2\), \(q = 3\):

• Формула для n-го члена геометрической прогрессии: \[v_n = v_1 \cdot q^{(n-1)}\]
• Четвёртый член: \[ v_4 = 2 \cdot 3^{(4-1)} = 2 \cdot 27 = 54 \]

б) Найти пятый член, если \(v_4 = 8\) и \(q = 32\):

• Если \(v_4 = 8\), нам дан \(v_4\) и \(q\). Найдите \(v_5\):
• Используем ту же формулу, учитывая, что \(q = v_5 / v_4\): \[ v_5 = v_4 \cdot q = 8 \cdot 32 = 256 \]

Задача 3: Сумма 101 первых членов геометрической прогрессии

• Известны два члена геометрической прогрессии \(b_1 = -3\) и \(b_2 = -24\):

  • Найдем q: \[ q = b_2 / b_1 = -24 / -3 = 8 \]

• Теперь используем формулу для суммы первых n членов геометрической прогрессии: \[ S_n = v_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \]

  • \(n = 101\): \[ S_{101} = -3 \cdot \frac{1 - 8^{101}}{1 - 8} = -3 \cdot \frac{1 - 8^{101}}{-7} = \frac{3(8^{101} - 1)}{7} \]

Задача 4: Перевод десятичных периодических дробей в обыкновенные

а) 0,(6):

• Пусть \(x = 0,666...\):
  • Умножим на 10: \(10x = 6,666...\)
  • Теперь вычтем \(x\): \[ 10x - x = 6,666... - 0,666... 9x = 6 \Rightarrow x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3} \]

б) 1,2(3): Пусть \(y = 1,23333...\):

• Умножим на 10: \(10y = 12,333...\)
• Умножим на 100: \(100y = 123,333...\)
• Теперь вычтем \(10y\): \[ 100y - 10y = 123,333... - 12,333... 90y = 111 \Rightarrow y = \frac{111}{90} = \frac{37}{30} \]

Если есть еще вопросы по заданиям или нужен дополнительный разбор, всегда рад помочь!