Мяч массой 400 г подбрасывают вертикально вверх со скоростью 36 м/с А. Чему равна начальная кинетическая энергия мяча? Б. На какой высоте кинетическая энергия будет втрое меньше первоначальной? В. Найти максимальную высоту подъема мяча
Давайте решим задачу шаг за шагом.
А. Начальная кинетическая энергия мяча
Кинетическая энергия (КЭ) объекта рассчитывается по формуле:
\[ KE = \frac{1}{2} m v^2 \]
где:
- \( m \) — масса объекта (в килограммах),
- \( v \) — скорость (в метрах в секунду).
В данном случае:
- Масса мяча \( m = 400 \, \text{г} = 0.4 \, \text{кг} \),
- Начальная скорость \( v = 36 \, \text{м/с} \).
Подставим значения в формулу:
\[ KE = \frac{1}{2} \times 0.4 \, \text{кг} \times (36 \, \text{м/с})^2 = \frac{1}{2} \times 0.4 \times 1296 = 259.2 \, \text{Дж} \]
Таким образом, начальная кинетическая энергия мяча равна 259.2 Дж.
Б. Высота, на которой кинетическая энергия втрое меньше первоначальной
Мы знаем, что кинетическая энергия будет втрое меньше первоначальной, если:
\[ KE = \frac{KE_{initial}}{3} \]
Подставим начальную КЭ в уравнение:
\[ KE = \frac{259.2 \, \text{Дж}}{3} = 86.4 \, \text{Дж} \]
В момент, когда кинетическая энергия уменьшится до 86.4 Дж, часть энергии была преобразована в потенциальную энергию (ПЭ). ПЭ можно находит по формуле:
\[ PE = mgh \]
где:
- \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \) — ускорение свободного падения,
- \( h \) — высота (в метрах).
На данной высоте выполняется равенство:
\[ KE + PE = KE_{initial} \] \[ 86.4 + mgh = 259.2 \] \[ mgh = 259.2 - 86.4 = 172.8 \, \text{Дж} \]
Теперь подставим \( m = 0.4 \, \text{кг} \) и \( g = 9.81 \, \text{м/с}^2 \):
\[ 0.4 \cdot 9.81 \cdot h = 172.8 \] \[ 3.924 \cdot h = 172.8 \] \[ h = \frac{172.8}{3.924} \approx 44.0 \, \text{м} \]
Таким образом, высота, на которой кинетическая энергия будет втрое меньше первоначальной, составляет примерно 44.0 м.
В. Максимальная высота подъема мяча
Максимальная высота достигается, когда вся кинетическая энергия будет преобразована в потенциальную. В этом случае мы можем использовать формулу для потенциальной энергии:
\[ KE_{initial} = PE_{max} \]
Значит:
\[ 259.2 = mgh \] \[ 0.4 \cdot 9.81 \cdot h_{max} = 259.2 \] \[ 3.924 \cdot h_{max} = 259.2 \] \[ h_{max} = \frac{259.2}{3.924} \approx 66.0 \, \text{м} \]
Таким образом, максимальная высота подъема мяча составляет примерно 66.0 м.
