ЗАДАНИЯ 1 ВАРИАНТ 1. Укажите, какая из числовых последовательностей является геометрической прогрессией, поясните и найдите следующий член этой прогрессии: а) 3:5:7;...b) 2:6:18;... c) -0,2; 0,8;1,8;... 2. Пусть (6) геометрическая прогрессия. Найдите: а) четвертый член прогрессии, если в₁ = 2,q = 3 6) пятый член прогрессии, если 54 = 8 и b = 32; . Известны два члена геометрической прогрессии (6), b) =-3 и ве-24. Найдите сумму 101 первых 3 членов геометрической прогрессии. 4. Переведите десятичные периодические дроби в обыкновенные дроби: а) 0,(6) b) 1.2(3) дано|решение

Давайте разберемся с вашими заданиями по геометрическим прогрессиям.

Задание 1

1. Чтобы определить, какая из числовых последовательностей является геометрической прогрессией, нужно проверить, сохраняется ли отношение соседних членов.

   a) 3:5:7

   • Отношение: \( \frac{5}{3} \) не равно \( \frac{7}{5} \). Это не геометрическая прогрессия.

   b) 2:6:18

   • Отношение: \( \frac{6}{2} = 3 \) и \( \frac{18}{6} = 3 \). Это геометрическая прогрессия с \( q = 3 \).
   • Следующий член: \( 18 \times 3 = 54 \).

   c) -0,2; 0,8; 1,8

   • Отношение: \( \frac{0,8}{-0,2} = -4 \) и \( \frac{1,8}{0,8} = 2,25 \). Это не геометрическая прогрессия.

Ответ: b) 2:6:18, следующий член 54.

Задание 2

Для геометрической прогрессии действуют следующие формулы:

• Общая формула n-го члена: \( a_n = a_1 \cdot q^{n-1} \)

а) Четвертый член, если \( a_1 = 2 \), \( q = 3 \): \[ a_4 = a_1 \cdot q^{4-1} = 2 \cdot 3^{3} = 2 \cdot 27 = 54. \]

б) Пятый член, если \( a_6 = 54 \) и \( q = 32 \):

• Нужно найти \( a_1 \). Мы знаем, что: \[ a_6 = a_1 \cdot q^{5} \implies 54 = a_1 \cdot 32^5. \]
• После нахождения \( a_1 \), можно найти \( a_5 = a_1 \cdot 32^4 \).

Задание 3

Если известны два члена геометрической прогрессии: \( b_1 = -3 \) и \( b_2 = -24 \), нужно найти сумму первых 101 член геометрической прогрессии.

1. Находим \( q \): \[ q = \frac{b_2}{b_1} = \frac{-24}{-3} = 8. \]

2. Теперь \( b_1 = a_1 = -3 \), а \( b_2 = a_1 \cdot q \).

3. Сумма первых \( n \) членов геометрической прогрессии: \[ S_n = a_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q} \text{ (при } q \neq 1\text{)}. \] Подставим \( n = 101 \): \[ S_{101} = -3 \cdot \frac{1 - 8^{101}}{1 - 8}. \]

Задание 4

Переводим десятичные периодические дроби в обыкновенные:

а) 0,(6)

1. Обозначим \( x = 0,666... \).
2. Умножим на 10: \( 10x = 6,666... \).
3. Теперь вычтем \( x \) из \( 10x \): \[ 10x - x = 6,666... - 0,666... \implies 9x = 6 \implies x = \frac{6}{9} = \frac{2}{3}. \]

б) 1.2(3)

1. Обозначим \( y = 1.23333... \).
2. Умножим на 10: \( 10y = 12.333... \).
3. Вычтем \( y \): \[ 10y - y = 12,333... - 1,23333... \implies 9y = 11 \implies y = \frac{11}{9}. \]

Если у вас есть дальнейшие вопросы, не стесняйтесь задавать!