Диагональ прямоугольного параллелепипеда равна 9 в корне 5 см, а его измерения относятся как 2:4:5. Найдите измерения параллелепипеда.

Пусть длины ребер прямоугольного параллелепипеда равны \( a, b \) и \( c \). Согласно условию, параметры соотносятся как \( 2:4:5 \). Обозначим:

\[ a = 2k, \quad b = 4k, \quad c = 5k \]

для некоторого положительного числа \( k \).

Далее, по формуле для диагонали прямоугольного параллелепипеда получаем:

\[ d = \sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{(2k)^2 + (4k)^2 + (5k)^2} \]

Посчитаем это выражение:

\[ d = \sqrt{4k^2 + 16k^2 + 25k^2} = \sqrt{45k^2} = 3\sqrt{5}k \]

Согласно условию задачи, длина диагонали равна \( 9\sqrt{5} \) см:

\[ 3\sqrt{5}k = 9\sqrt{5} \]

Теперь разделим обе стороны на \( 3\sqrt{5} \):

\[ k = 3 \]

Теперь подставим \( k \) обратно в формулы для \( a, b \) и \( c \):

\[ a = 2k = 2 \cdot 3 = 6 \text{ см} \] \[ b = 4k = 4 \cdot 3 = 12 \text{ см} \] \[ c = 5k = 5 \cdot 3 = 15 \text{ см} \]

Таким образом, размеры параллелепипеда равны:

\[ 6 \text{ см}, \quad 12 \text{ см}, \quad 15 \text{ см}. \]