найдите наибольшее значение y=5+9x-x² на отрезке -3;5

Чтобы найти наибольшее значение функции \( y = 5 + 9x - x^2 \) на отрезке \([-3; 5]\), нужно сначала определить критические точки функции, а затем проверить значения на границах отрезка.

1. Найдем первую производную и критические точки:

   Функция \( y = 5 + 9x - x^2 \) имеет производную: \[ y' = 9 - 2x \] Установим производную равной нулю для нахождения критических точек: \[ 9 - 2x = 0 \implies 2x = 9 \implies x = 4.5 \]

2. Проверим, находится ли эта критическая точка на отрезке \([-3; 5]\): Критическая точка \( x = 4.5 \) находится в пределах отрезка.

3. Теперь найдем значения функции на границах отрезка и в критической точке:

   • При \( x = -3 \): \[ y(-3) = 5 + 9(-3) - (-3)^2 = 5 - 27 - 9 = -31 \]

   • При \( x = 4.5 \): \[ y(4.5) = 5 + 9(4.5) - (4.5)^2 = 5 + 40.5 - 20.25 = 25.25 \]

   • При \( x = 5 \): \[ y(5) = 5 + 9(5) - (5)^2 = 5 + 45 - 25 = 25 \]

4. Сравним полученные значения:

   • \( y(-3) = -31 \)
   • \( y(4.5) = 25.25 \)
   • \( y(5) = 25 \)

Наибольшее значение функции \( y \) на отрезке \([-3; 5]\) равно \( 25.25 \) и достигается при \( x = 4.5 \).