(x^2 +3x) (2x-1) ≤0
Чтобы решить неравенство \((x^2 + 3x)(2x - 1) \leq 0\), сначала найдем нули каждой из функций, составляющих выражение.
Найдем нули функции \(x^2 + 3x\): \[ x^2 + 3x = x(x + 3) = 0 \] Это уравнение имеет решения: \(x = 0\) и \(x = -3\).
Найдем нуль функции \(2x - 1\): \[ 2x - 1 = 0 \implies 2x = 1 \implies x = \frac{1}{2} \]
Теперь у нас есть три ключевых значения: \(x = -3\), \(x = 0\) и \(x = \frac{1}{2}\). Эти значения разделяют числовую прямую на интервалы, которые мы проверим на знак.
Проверим интервалы:
Для интервала \((-∞, -3)\): Выбираем тестовую точку, например, \(x = -4\): \(((-4)^2 + 3(-4))(2(-4) - 1) = (16 - 12)(-8 - 1) = 4 \cdot (-9) < 0\) \(\Rightarrow\) здесь знак отрицательный.
Для интервала \((-3, 0)\): Выбираем тестовую точку, например, \(x = -1\): \(((-1)^2 + 3(-1))(2(-1) - 1) = (1 - 3)(-2 - 1) = (-2)(-3) > 0\) \(\Rightarrow\) здесь знак положительный.
Для интервала \((0, \frac{1}{2})\): Выбираем тестовую точку, например, \(x = \frac{1}{4}\): \(((\frac{1}{4})^2 + 3(\frac{1}{4}))(2(\frac{1}{4}) - 1) = (\frac{1}{16} + \frac{3}{4})(\frac{1}{2} - 1) = (\frac{1}{16} + \frac{12}{16})(-\frac{1}{2}) = \frac{13}{16} \cdot (-\frac{1}{2}) < 0\) \(\Rightarrow\) здесь знак отрицательный.
Для интервала \((\frac{1}{2}, ∞)\): Выбираем тестовую точку, например, \(x = 1\): \((1^2 + 3 \cdot 1)(2 \cdot 1 - 1) = (1 + 3)(2 - 1) = 4 \cdot 1 > 0\) \(\Rightarrow\) здесь знак положительный.
Теперь объединяем интервал и точки: Исходя из полученной информации, неравенство \((x^2 + 3x)(2x - 1) \leq 0\) выполняется на интервалах:
- На \((-∞, -3]\)
- На \([0, \frac{1}{2}]\)
Таким образом, решение неравенства: \[ x \in (-\infty, -3] \cup [0, \frac{1}{2}] \]
