найти производную y=arcsin 1/x ln(x+sqr((x×x)-1))

Чтобы найти производную функции \( y = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \), мы будем использовать правило произведения и цепное правило.

1. Обозначим: \[ u = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) \] \[ v = \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) \]

2. По правилу производной произведения, производная функции \( y \) будет равна: \[ \frac{dy}{dx} = \frac{du}{dx} v + u \frac{dv}{dx} \]

Теперь найдём \( \frac{du}{dx} \) и \( \frac{dv}{dx} \):

Шаг 1: Найдите \( \frac{du}{dx} \)

Используя цепное правило для \( u = \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) \): \[ \frac{du}{dx} = \frac{1}{\sqrt{1 - \left(\frac{1}{x}\right)^2}} \cdot \frac{d}{dx}\left(\frac{1}{x}\right) \] \[ = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right) \] \[ = -\frac{1}{x^2 \sqrt{1 - \frac{1}{x^2}}} \]

Упрощаем: \[ = -\frac{1}{x^2 \sqrt{\frac{x^2 - 1}{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}} \]

Шаг 2: Найдите \( \frac{dv}{dx} \)

Теперь найдём производную \( v \): \[ \frac{dv}{dx} = \frac{1}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \cdot \left(1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) \text{ (используя правило производной для логарифма)} \]

Упрощаем это выражение: \[ = \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \]

Теперь подставляем \( \frac{du}{dx} \) и \( \frac{dv}{dx} \) в формулу для \( \frac{dy}{dx} \): \[ \frac{dy}{dx} = \left(-\frac{1}{\sqrt{x^2 - 1}}\right) \ln\left(x + \sqrt{x^2 - 1}\right) + \arcsin\left(\frac{1}{x}\right) \cdot \frac{1 + \frac{x}{\sqrt{x^2 - 1}}}{x + \sqrt{x^2 - 1}} \]

Это полное выражение для производной функции \( y \). Если у вас есть вопросы по отдельным шагам или по особенностям производной, не стесняйтесь спрашивать!