(x^2 +2x) (4x-2) ≥0
Чтобы решить неравенство (x^2 + 2x)(4x - 2) ≥ 0, давайте следовать шагам.
Найдём корни каждого множителя.
Для первого множителя x^2 + 2x: \[ x^2 + 2x = x(x + 2) = 0 \] Корни: x = 0 и x = -2.
Для второго множителя 4x - 2: \[ 4x - 2 = 0 \Rightarrow 4x = 2 \Rightarrow x = \frac{1}{2}. \]
Таким образом, у нас есть три корня: x = -2, x = 0 и x = \frac{1}{2}.
Построим числовую ось и определим интервалы.
Мы разделим числовую ось на следующие интервалы:
- (-∞, -2)
- (-2, 0)
- (0, \frac{1}{2})
- (\frac{1}{2}, +∞)
Тестируем знаки в каждом интервале.
Выберем тестовые значения из каждого интервала:
Для интервала (-∞, -2), например, x = -3: \[ (-3^2 + 2 \cdot (-3))(4 \cdot (-3) - 2) = (9 - 6)(-12 - 2) = 3 \cdot (-14) < 0. \]
Для интервала (-2, 0), например, x = -1: \[ (-1^2 + 2 \cdot (-1))(4 \cdot (-1) - 2) = (1 - 2)(-4 - 2) = (-1) \cdot (-6) > 0. \]
Для интервала (0, \frac{1}{2}), например, x = \frac{1}{4}: \[ \left(\frac{1}{4}^2 + 2 \cdot \frac{1}{4}\right)\left(4 \cdot \frac{1}{4} - 2\right) = \left(\frac{1}{16} + \frac{1}{2}\right)(1 - 2) = \left(\frac{1}{16} + \frac{8}{16}\right)(-1) = \frac{9}{16} \cdot (-1) < 0. \]
Для интервала (\frac{1}{2}, +∞), например, x = 1: \[ (1^2 + 2 \cdot 1)(4 \cdot 1 - 2) = (1 + 2)(4 - 2) = 3 \cdot 2 > 0. \]
Соберём все результаты.
Мы получили знаки для каждого интервала:
- (-∞, -2): отрицательный
- (-2, 0): положительный
- (0, \frac{1}{2}): отрицательный
- (\frac{1}{2}, +∞): положительный
- Соберём ответ с учётом корней.
Неравенство (x^2 + 2x)(4x - 2) ≥ 0 верно для интервалов:
- (-2, 0) (положительно)
- (\frac{1}{2}, +∞) (положительно)
При этом точки, где равенство 0, включаются в ответ: x = -2, x = 0 и x = \frac{1}{2}.
Итак, окончательный ответ: \[ x \in [-2, 0] \cup [\frac{1}{2}, +\infty) \]
