Докажите , что ABCD паралелограмм и найдите его диагонали , если A(-2, -6) B(1, 1) C(9, 1) D(6, -6)

Чтобы доказать, что ABCD является параллелограммом, нужно показать, что противолежащие стороны равны или параллельны. Рассмотрим координаты вершин параллелограмма:

• A(-2, -6)
• B(1, 1)
• C(9, 1)
• D(6, -6)

Сначала найдем длины сторон.

1. Находим длину AB: \[ AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2} = \sqrt{(1 - (-2))^2 + (1 - (-6))^2} = \sqrt{(1 + 2)^2 + (1 + 6)^2} = \sqrt{3^2 + 7^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \]

2. Находим длину CD: \[ CD = \sqrt{(x_D - x_C)^2 + (y_D - y_C)^2} = \sqrt{(6 - 9)^2 + (-6 - 1)^2} = \sqrt{(-3)^2 + (-7)^2} = \sqrt{9 + 49} = \sqrt{58} \]

3. Находим длину AD: \[ AD = \sqrt{(x_D - x_A)^2 + (y_D - y_A)^2} = \sqrt{(6 - (-2))^2 + (-6 - (-6))^2} = \sqrt{(6 + 2)^2 + (0)^2} = \sqrt{8^2} = 8 \]

4. Находим длину BC: \[ BC = \sqrt{(x_C - x_B)^2 + (y_C - y_B)^2} = \sqrt{(9 - 1)^2 + (1 - 1)^2} = \sqrt{8^2 + 0^2} = 8 \]

Мы видим, что AB = CD и AD = BC, что подтверждает, что ABCD является параллелограммом.

Теперь найдем диагонали AC и BD.

1. Находим длину диагонали AC: \[ AC = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} = \sqrt{(9 - (-2))^2 + (1 - (-6))^2} = \sqrt{(9 + 2)^2 + (1 + 6)^2} = \sqrt{11^2 + 7^2} = \sqrt{121 + 49} = \sqrt{170} \]

2. Находим длину диагонали BD: \[ BD = \sqrt{(x_D - x_B)^2 + (y_D - y_B)^2} = \sqrt{(6 - 1)^2 + (-6 - 1)^2} = \sqrt{(5)^2 + (-7)^2} = \sqrt{25 + 49} = \sqrt{74} \]

Таким образом, ABCD является параллелограммом, а его диагонали имеют длины \( AC = \sqrt{170} \) и \( BD = \sqrt{74} \).