Построй график функции y = ∣ x 2 − 4 x − 5 ∣ y= ∣ ∣ ∣ x 2 −4x−5 ∣ ∣ ∣ . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси…
Построй график функции y = ∣ x 2 − 4 x − 5 ∣ y= ∣ ∣ ∣ x 2 −4x−5 ∣ ∣ ∣ . Какое наибольшее число общих точек график данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс? В ответе вставь пропущенные слова и числа. Полученное решение используй, как шаблон для подобных задач. Если ответ содержит символ бесконечности, то в поле ответа введи -б или +б. Рассмотрим функцию y = x 2 − 4 x − 5 y=x 2 −4x−5. Это парабола с ветвями, направленными , вершина которой находится в точке x в = x в =; y в = y в = ( ( ) 2 ) 2 − 4 ⋅ − 4⋅ ( ( ) ) − 5 = − 5 = . Найдем точки пересечения графика с осью абсцисс, решив уравнение x 2 − 4 x − 5 = 0 x 2 −4x−5=0. D = D= ( ( ) 2 ) 2 − 4 ⋅ −4⋅ ( ( ) ) ⋅ ⋅ ( ( ) = )= x 1 = x 1 = x 2 = x 2 = Чтобы получить график функции y = ∣ x 2 − 4 x − 5 ∣ y= ∣ ∣ ∣ x 2 −4x−5 ∣ ∣ ∣ из графика y = x 2 − 4 x − 5 y=x 2 −4x−5, оставим без изменения часть графика, принадлежащую областям ( (; ] ∪ [ ]∪[; ) ), а остальное отобразим симметрично относительно оси (введи слово). Из вышеописанного получаем следующий график. В поле ответа введи номер верного графика. Верный график находится под номером. Для понимания того, сколько точек образуется при пересечении прямой параллельной оси абсцисс с графиком заданной функции, на этом рисунке изображены также прямые y = 0 ; y = 5 ; y = 9 ; y = 10 y=0;y=5;y=9;y=10. По графику определяем, что параллельная оси абсцисс прямая, может иметь с графиком функции не более
Чтобы решить задачу, давайте рассмотрим все шаги подробно:
Функция \( y = x^2 - 4x - 5 \): это парабола, ветви которой направлены вверх. Чтобы найти координаты её вершины, используем формулы:
\[ x_v = -\frac{b}{2a} = -\frac{-4}{2 \cdot 1} = 2 \]
\[ y_v = f(x_v) = (2)^2 - 4 \cdot 2 - 5 = 4 - 8 - 5 = -9 \]
Таким образом, вершина параболы находится в точке \( (2, -9) \).
Найдём точки пересечения с осью абсцисс: решим уравнение \( x^2 - 4x - 5 = 0 \).
Дискриминант \( D \) рассчитывается по формуле:
\[ D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-5) = 16 + 20 = 36 \]
Теперь находим корни уравнения:
\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 + 6}{2} = 5 \]
\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{4 - 6}{2} = -1 \]
Таким образом, точки пересечения с осью абсцисс: \( x_1 = 5 \) и \( x_2 = -1 \).
График функции \( y = |x^2 - 4x - 5| \): чтобы получить график этой функции, оставим без изменения часть, где \( x^2 - 4x - 5 \geq 0 \), а часть, где \( x^2 - 4x - 5 < 0 \) (между корнями) отобразим симметрично относительно оси Ox.
Таким образом, график функции будет выглядеть следующим образом:
- На отрезке \((-1, 5)\) — отражение вниз, так как на этом интервале функция отрицательна.
- В остальной части — обычная парабола.
Найдем количество общих точек с прямой, параллельной оси абсцисс: прямая \( y = k \) может иметь пересечения с графиком функции \( y = |x^2 - 4x - 5| \).
- Если \( k < 0\) — 0 точек.
- Если \( 0 \leq k < 9 \) (где \( y_v = -9 \)) — 2 точки (парабола пересекает уровень дважды).
- Если \( k = 9 \) — 2 точки.
- Если \( k > 9 \) — 0 точек (так как график функции никогда не опускается ниже 0).
Таким образом, наибольшее число общих точек графика данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс, составляет 2.
Верные ответы:
- Вершина параболы: \( x_v = 2; y_v = -9 \);
- Сколько точек пересечения: 2.
Таким образом, записать ответ можно так: Наибольшее число общих точек графика данной функции может иметь с прямой, параллельной оси абсцисс, равно 2.
