решить уравнение 3cos²x-sinx-1=0
Чтобы решить уравнение \(3\cos^2 x - \sin x - 1 = 0\), начнем с замены \(\cos^2 x\) через \(\sin x\). Мы знаем, что \(\cos^2 x = 1 - \sin^2 x\). Подставим это в уравнение:
\[ 3(1 - \sin^2 x) - \sin x - 1 = 0 \]
Раскроем скобки:
\[ 3 - 3\sin^2 x - \sin x - 1 = 0 \]
Упростим уравнение:
\[ -3\sin^2 x - \sin x + 2 = 0 \]
Умножим всю систему на \(-1\) для упрощения:
\[ 3\sin^2 x + \sin x - 2 = 0 \]
Теперь это квадратное уравнение относительно \(\sin x\). Применим формулу корней квадратного уравнения:
\[ a = 3, \quad b = 1, \quad c = -2 \]
Дискриминант \(D\) будет равен:
\[ D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 1 + 24 = 25 \]
Так как дискриминант положительный, уравнение имеет два действительных корня. Находим корни по формуле:
\[ \sin x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 \pm 5}{2 \cdot 3} \]
Первый корень:
\[ \sin x_1 = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \]
Второй корень:
\[ \sin x_2 = \frac{-6}{6} = -1 \]
Теперь найдем значения \(x\).
Для \(\sin x = \frac{2}{3}\): \[ x = \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi \quad \text{и} \quad x = \pi - \arcsin\left(\frac{2}{3}\right) + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Для \(\sin x = -1\): \[ x = \frac{3\pi}{2} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z} \]
Таким образом, решение уравнения включает два вида решений. Не забудьте проверить, подходят ли найденные значения \(x\) в контексте задачи, например, если у вас есть ограничения на промежуток для решения.
