На рисунке 109 AB=BC, AD=DE, угол C=70°угол EAC=35°, докажите что DE||AC
Для того чтобы доказать, что \( DE \parallel AC \), используя данные условия, воспользуемся теоремой о соответствующих углах.
Имеем:
- \( AB = BC \)
- \( AD = DE \)
- \( \angle C = 70^\circ \)
- \( \angle EAC = 35^\circ \)
Из условия, что \( AB = BC \), следует, что треугольник \( ABC \) является равнобедренным, и соответственно \( \angle ABC = \angle ACB \). Поскольку в треугольнике сумма углов равна 180°, мы можем выразить угол \( \angle ACB \):
\[ \angle ABC + \angle ACB + \angle C = 180^\circ \]
Пусть \( \angle ABC = \angle ACB = x \). Тогда:
\[ x + x + 70^\circ = 180^\circ \]
\[ 2x = 110^\circ \implies x = 55^\circ \]
Таким образом, \( \angle ABC = \angle ACB = 55^\circ \).
Теперь рассмотрим угол \( \angle EAC = 35^\circ \). Угол \( \angle CAB = \angle EAC + \angle ABC \):
\[ \angle CAB = 35^\circ + 55^\circ = 90^\circ \]
Теперь, чтобы воспользоваться теоремой о соответствующих углах, отметим, что:
- Угол \( \angle CED \) и угол \( \angle EAC \) являются соответственными углами относительно параллельных прямых \( DE \) и \( AC \).
Мы знаем, что сумма углов \( \angle C + \angle EAC + \angle CED = 180^\circ \). Так как \( \angle C = 70^\circ \) и \( \angle EAC = 35^\circ \):
\[ 70^\circ + 35^\circ + \angle CED = 180^\circ \]
\[ \angle CED = 180^\circ - 105^\circ = 75^\circ \]
Так как угол \( \angle CED = 75^\circ \), а угол \( \angle C = 70^\circ \), мы можем сравнить все углы. Поскольку сумма противоположных углов равна 180°, а соответственные углы равны, следует, что:
\[ DE \parallel AC \]
Таким образом, мы доказали, что \( DE \parallel AC \).
