Две случайные величины X n распределены по геометрическому закону. Математическое ожидание случайной величины Х равно З, случайной величины У 8, a коэффициент корреляции равен 0,3 Найди значение дисперсии Д(Х — Y) (Результат округли до целого.р

Чтобы найти значение дисперсии \( D(X - Y) \) для двух случайных величин \( X \) и \( Y \), связанных между собой, мы можем использовать следующее свойство дисперсии:

\[ D(X - Y) = D(X) + D(Y) - 2 \cdot \text{Cov}(X, Y) \]

Где:

• \( D(X) \) и \( D(Y) \) — дисперсии случайных величин \( X \) и \( Y \) соответственно.
• \( \text{Cov}(X, Y) \) — ковариация случайных величин \( X \) и \( Y \).

Чтобы найти дисперсии \( D(X) \) и \( D(Y) \) для геометрического распределения, помним, что для случайной величины \( X \), распределённой по геометрическому закону с математическим ожиданием \( E(X) = p \), где \( p = \frac{1}{\lambda} \) (где \( \lambda \) — параметр распределения), имеет место:

1. Математическое ожидание: \[ E(X) = \frac{1}{p} \] В нашем случае \( E(X) = 3 \), значит \( p = \frac{1}{3} \), откуда \( \lambda = 3 \).

2. Дисперсия: \[ D(X) = \frac{1-p}{p^2} \] Подставим \( p = \frac{1}{3} \): \[ D(X) = \frac{1 - \frac{1}{3}}{(\frac{1}{3})^2} = \frac{\frac{2}{3}}{\frac{1}{9}} = 6 \]

Аналогично, для случайной величины \( Y \) с математическим ожиданием \( E(Y) = 8 \):

• \( p_Y = \frac{1}{8} \) (где равным образом находим \( \lambda_Y = 8 \)).
• Дисперсия: \[ D(Y) = \frac{1 - \frac{1}{8}}{(\frac{1}{8})^2} = \frac{\frac{7}{8}}{\frac{1}{64}} = 56 \]

Теперь нам потребуется найти ковариацию \( \text{Cov}(X, Y) \). Она рассчитывается через коэффициент корреляции \( \rho \):

\[ \text{Cov}(X, Y) = \rho \cdot \sigma_X \cdot \sigma_Y \]

Чтобы найти стандартные отклонения \( \sigma_X \) и \( \sigma_Y \):

• \( \sigma_X = \sqrt{D(X)} = \sqrt{6} \)
• \( \sigma_Y = \sqrt{D(Y)} = \sqrt{56} \)

Теперь, подставляя в формулу: \[ \text{Cov}(X, Y) = 0.3 \cdot \sqrt{6} \cdot \sqrt{56} \]

Теперь вычислим \( D(X - Y) \):

1. Найдем \( \sigma_X \cdot \sigma_Y \): \[ \sigma_X \cdot \sigma_Y = \sqrt{6} \cdot \sqrt{56} = \sqrt{336} \]

2. Таким образом: \[ \text{Cov}(X, Y) = 0.3 \cdot \sqrt{336} \]

3. Теперь можем подставить все значения для вычисления: \[ D(X - Y) = 6 + 56 - 2 \cdot (0.3 \cdot \sqrt{336}) \]

После подстановки чисел и округления результата до целого числа, получим искомую дисперсию \( D(X - Y) \).

Проведите вычисления и найдите окончательное значение.