. Вычислите интеграл. 16 баллов Введите ответ в предложенные ниже поля. В каждое окно впишите только число без пробелов. ∫ 6 x 4 + 3 x 2 + 3 1 + x 2 d x ∫ 1+x 2 6x 4 +3x 2 +3 dx F…

Чтобы вычислить интеграл

\[ \int \frac{6x^4 + 3x^2 + 3}{1 + x^2} \, dx, \]

мы можем разделить дробь на каждую составляющую. Начнем с разложения интегрируемого выражения.

Можем выразить числитель через знаменатель с помощью деления:

\[ 6x^4 + 3x^2 + 3 = (6x^4 + 3x^2 + 3) \div (1 + x^2). \]

Здесь числитель можно разложить на составные части:

1. \(6x^4\), которая при делении на \(1 + x^2\) дает \(6x^2\). Затем умножим \(6x^2\) на \(1 + x^2\):

   \[ 6x^2 (1 + x^2) = 6x^2 + 6x^4. \]

   Вычтем это из числителя:

   \[ (6x^4 + 3x^2 + 3) - (6x^4 + 6x^2) = 3 - 3x^2. \]

Теперь мы можем переписать интеграл как:

\[ \int (6x^2 + \frac{3 - 3x^2}{1 + x^2}) \, dx. \]

Теперь мы можем разделить интеграл:

\[ \int 6x^2 \, dx + \int \frac{3}{1 + x^2} \, dx - \int \frac{3x^2}{1 + x^2} \, dx. \]

Каждый из этих интегралов можно вычислить:

1. \(\int 6x^2 \, dx = 2x^3 + C_1\),
2. \(\int \frac{3}{1 + x^2} \, dx = 3 \arctan(x) + C_2\),
3. \(\int \frac{3x^2}{1 + x^2} \, dx\).

Для последнего интеграла, применим замену переменной:

\[ \frac{3x^2}{1 + x^2} = 3 - \frac{3}{1 + x^2}. \]

Следовательно:

\[ \int \frac{3x^2}{1 + x^2} \, dx = \int 3 \, dx - \int \frac{3}{1 + x^2} \, dx = 3x - 3 \arctan(x) + C_3. \]

Итак, объединив результаты, имеем:

\[ \int \left(6x^2 + \frac{3 - 3x^2}{1 + x^2}\right) \, dx = 2x^3 + 3 \arctan(x) - (3x - 3 \arctan(x)) + C. \]

Сложив эти части, у нас получится:

\[ = 2x^3 + 6 \arctan(x) - 3x + C. \]

Теперь, в соответствии с заданием, нам нужно определить коэффициенты \(a\), \(b\) и \(k\):

\[ F(x) = ax^3 + bx + k \cdot \arctan(x) + C. \]

Отсюда:

• \(a = 2\),
• \(b = -3\),
• \(k = 6\).

Таким образом, ваш ответ будет:

\(a = 2;\)

\(b = -3;\)

\(k = 6.\)