Вычислите значение производной функции y= x*cos x при x0=0

Чтобы вычислить значение производной функции \( y = x \cdot \cos x \) в точке \( x_0 = 0 \), сначала найдем производную этой функции. Мы будем использовать правило произведения для нахождения производной.

Правило произведения гласит, что если \( y = u \cdot v \), то производная \( y' = u' \cdot v + u \cdot v' \), где \( u \) и \( v \) - функции, а \( u' \) и \( v' \) - их производные.

В данном случае:

• \( u = x \) и \( v = \cos x \).

Теперь вычислим производные:

• \( u' = 1 \),
• \( v' = -\sin x \).

Подставляя эти значения в правило произведения, получаем:

\[ y' = u' \cdot v + u \cdot v' = 1 \cdot \cos x + x \cdot (-\sin x) = \cos x - x \sin x. \]

Теперь подставим \( x = 0 \) в производную:

\[ y'(0) = \cos(0) - 0 \cdot \sin(0) = 1 - 0 = 1. \]

Таким образом, значение производной функции \( y = x \cdot \cos x \) в точке \( x_0 = 0 \) равно 1.