Log3(x+2)+log3x=1

Чтобы решить уравнение \( \log_3(x+2) + \log_3x = 1 \), мы можем воспользоваться свойствами логарифмов.

Первым делом, воспользуемся свойством, что сумма логарифмов равна логарифму произведения:

\[ \log_3((x+2) \cdot x) = 1 \]

Теперь мы можем переписать это уравнение в экспоненциальной форме. Помним, что если \( \log_b(a) = c \), то \( a = b^c \). В нашем случае \( b = 3 \), \( a = (x+2)x \), и \( c = 1 \):

\[ (x+2) \cdot x = 3^1 \]

Упрощаем:

\[ x^2 + 2x = 3 \]

Перегруппируем уравнение, чтобы приравнять его к нулю:

\[ x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Теперь можем решить это квадратное уравнение, используя формулу корней:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \]

где \( a = 1, b = 2, c = -3 \). Подставляем эти значения:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} \]

Считаем дискриминант:

\[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{-2 \pm \sqrt{16}}{2} = \frac{-2 \pm 4}{2} \]

Теперь у нас есть два возможных значения для \( x \):

1. \( x = \frac{2}{2} = 1 \)
2. \( x = \frac{-6}{2} = -3 \)

Однако мы должны проверить допустимость этих решений, так как логарифм определён только для положительных аргументов. В данном случае, \( x \) и \( x+2 \) должны быть положительными.

1. Для \( x = 1 \):

   • \( x + 2 = 3 > 0 \)
   • \( x = 1 > 0 \)

2. Для \( x = -3 \):

   • \( x + 2 = -1 < 0 \) (недопустимо)
   • \( x = -3 < 0 \) (недопустимо)

Таким образом, единственное допустимое решение, которое удовлетворяет данному логарифмическому уравнению, это:

\[ \boxed{1} \]