Реши

Привет! Давай разберёмся с задачами из первого варианта.

Задача 1:

Тебе нужно доказать, что функция \( F(x) \) является первообразной для функции \( f(x) \).

а) Чтобы найти первообразную, мы должны взять производную от \( F(x) = x^3 + 5x^2 - 3x - 13 \) и проверить, равна ли она \( f(x) = 3x^2 + 10x - 3 \).

Посчитаем производную:

• Производная от \( x^3 \) — \( 3x^2 \)
• Производная от \( 5x^2 \) — \( 10x \)
• Производная от \( -3x \) — \( -3 \)
• Постоянная \( -13 \) при дифференцировании исчезнет.

Итак, производная \( F(x) \) равна \( 3x^2 + 10x - 3 \), и это действительно соответствует \( f(x) \).

Задача 2:

Для функции \( f(x) = \frac{3}{\sqrt{1-x^2}} \) мы найдем \( F(x) = 3 \arcsin x + C \) через формулу интегрирования функций вида \( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} \).

Задача 3:

Найдем первообразную для \( f(x) = 4x - 3 \), с условием прохождения графика через точку (0, 2). Первообразная \( F(x) \) от \( f(x) = 4x - 3 \) равно \( 2x^2 - 3x + C \). Используя точку (0, 2), мы находим \( C = 2 \).

Задача 4:

Первообразная от \( f(x) = \sqrt{3x} \) будет равна \( \frac{2}{3} \cdot (3x)^{3/2} + C \).

Задача 5:

Первообразная от \( f(x) = \cos 3x \) будет равна \( \frac{1}{3} \sin 3x + C \).

Если есть вопросы по этим задачам или нужна помощь с другим вариантом, обязательно дай знать!