Y=-x3+9x2-24x. Найти наибольшее и наименьшее значение функции

Привет! Давай разберемся, как найти наибольшее и наименьшее значение функции \( y = -x^3 + 9x^2 - 24x \).

1. Найди производную функции:
   Найдем первую производную функции, чтобы определить критические точки. Это нужно для нахождения максимумов и минимумов. Производная будет:

   \( y' = -3x^2 + 18x - 24 \).

2. Найди критические точки:
   Для этого приравниваем производную к нулю:

   \(-3x^2 + 18x - 24 = 0\).

   Решаем квадратное уравнение:

   \[-3(x^2 - 6x + 8) = 0\].

   \[x^2 - 6x + 8 = 0\].

   Находим корни: \(x = 2\) и \(x = 4\).

3. Исследуй поведение функции в критических точках:
   Для этого найдем значения второй производной:

   \( y'' = -6x + 18 \).

   - Подставим \(x = 2\):
   \( y''(2) = -6(2) + 18 = 6 \) (положительное значение, значит, это минимум).

   - Подставим \(x = 4\):
   \( y''(4) = -6(4) + 18 = -6 \) (отрицательное значение, значит, это максимум).

4. Посчитай значения функции в этих точках:
   - \( y(2) = -2^3 + 9 \cdot 2^2 - 24 \cdot 2 = -8 + 36 - 48 = -20 \).

   - \( y(4) = -4^3 + 9 \cdot 4^2 - 24 \cdot 4 = -64 + 144 - 96 = -16 \).

Итак, наименьшее значение функции: \(-20\) при \(x = 2\), наибольшее значение: \(-16\) при \(x = 4\).