Составьте уравнение окружности , диаметром которой является отрезок АБ, если А(2;7), Б(-2;3)

Чтобы составить уравнение окружности, диаметр которой задается отрезком \(AB\), нужно сначала найти координаты центра окружности и радиус.

1. Находим центр окружности: Центр окружности \(C\) будет находиться в середине отрезка \(AB\). Координаты центра вычисляются по формуле: \[ C\left(\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right) \] где \(A(2;7)\) и \(B(-2;3)\).

   Подставляем координаты: \[ C\left(\frac{2 + (-2)}{2}, \frac{7 + 3}{2}\right) = C(0; 5) \]

2. Находим радиус: Радиус \(r\) является половиной длины отрезка \(AB\). Сначала найдем длину отрезка \(AB\) по формуле: \[ AB = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2} \] Подставим значения: \[ AB = \sqrt{((-2) - 2)^2 + (3 - 7)^2} = \sqrt{(-4)^2 + (-4)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2} \] Значит, радиус \(r\) будет равен: \[ r = \frac{AB}{2} = \frac{4\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2} \]

3. Составляем уравнение окружности: Уравнение окружности в общем виде имеет вид: \[ (x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2 \] где \((x_0, y_0)\) — координаты центра окружности, а \(r\) — радиус.

   Подставляем найденные значения: \(C(0; 5)\) и \(r = 2\sqrt{2}\): \[ (x - 0)^2 + (y - 5)^2 = (2\sqrt{2})^2 \] \[ x^2 + (y - 5)^2 = 8 \]

Таким образом, уравнение окружности, диаметр которой задаётся отрезком \(AB\), будет: \[ x^2 + (y - 5)^2 = 8 \]