Постройте график функции у = -x2- 2× + 3. Найдите с помощью графика: а) значение у, при х = -2,x = 0,5; 6) значение х, при у = 2; в) нули функции; г) промежутки в которых у > 0 и…

Давайте разберем функцию \( y = -x^2 - 2x + 3 \).

1. Построение графика функции

Функция является квадратичной и имеет вид параболы, открытой вверх, поскольку коэффициент перед \( x^2 \) отрицательный. Мы можем определить основные характеристики функции:

• Вершина параболы: Для нахождения координаты вершины квадратичной функции \( y = ax^2 + bx + c \) используется формула \( x = -\frac{b}{2a} \), где \( a = -1 \) и \( b = -2 \).

\[ x = -\frac{-2}{2 \cdot -1} = 1 \]

Теперь подставим значение \( x \) в функцию, чтобы найти \( y \):

\[ y = -1^2 - 2 \cdot 1 + 3 = -1 - 2 + 3 = 0 \]

Вершина параболы: \( (1, 0) \).

• Параметры функции:
  • \( a = -1 \)
  • \( b = -2 \)
  • \( c = 3 \)

2. Значения \( y \) при \( x = -2 \) и \( x = 0.5 \)

Подставляем значения:

• Для \( x = -2 \):

\[ y = -(-2)^2 - 2 \cdot (-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 \]

• Для \( x = 0.5 \):

\[ y = -(0.5)^2 - 2 \cdot 0.5 + 3 = -0.25 - 1 + 3 = 1.75 \]

3. Значение \( x \) при \( y = 2 \)

Устанавливаем уравнение \( -x^2 - 2x + 3 = 2 \):

\[ -x^2 - 2x + 1 = 0 \]

Умножим на -1:

\[ x^2 + 2x - 1 = 0 \]

Решим его с помощью дискриминанта:

\[ D = b^2 - 4ac = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-1) = 4 + 4 = 8 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 + \sqrt{8}}{2} = -1 + \sqrt{2} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-2 - \sqrt{8}}{2} = -1 - \sqrt{2} \]

4. Нули функции

Нули функции находятся при \( y = 0 \):

\[ -x^2 - 2x + 3 = 0 \Rightarrow x^2 + 2x - 3 = 0 \]

Решим его:

\[ D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни:

\[ x_1 = \frac{-2 + 4}{2} = 1 \] \[ x_2 = \frac{-2 - 4}{2} = -3 \]

5. Промежутки, где \( y > 0 \) и \( y < 0 \)

Поскольку парабола открыта вниз, функция больше нуля между её нулями:

• \( y > 0 \) при \( -3 < x < 1 \)
• \( y < 0 \) при \( x < -3 \) и \( x > 1 \)

6. Промежуток, в котором функция возрастает и убывает

• Функция возрастает на интервале \( (-\infty, -3) \) и \( (1, +\infty) \)
• Функция убывает на интервале \( (-3, 1) \)

7. Область определения и область значений функции

• Область определения: Все действительные числа \( \mathbb{R} \)
• Область значений: \( (-\infty, 3] \)

Резюме

1. \( y(-2) = 3 \)
2. \( y(0.5) = 1.75 \)
3. \( x \) при \( y = 2 \) находятся \( x = -1 - \sqrt{2} \) и \( x = -1 + \sqrt{2} \)
4. Нули функции \( x = -3 \) и \( x = 1 \)
5. Промежутки: \( y > 0 \) на \( (-3, 1) \); \( y < 0 \) на \( (-\infty, -3) \cup (1, +\infty) \)
6. Функция возрастает на \( (-\infty, -3) \) и \( (1, +\infty) \); убывает на \( (-3, 1) \)
7. Область определения: \( \mathbb{R} \); область значений: \( (-\infty, 3] \)