Постройте график функции у = -x2- 2× + 3. Найдите с помощью графика: а) значение у, при х = -2,x = 0,5; 6) значение х, при у = 2; в) нули функции; г) промежутки в которых у > 0 и в которых у < 0; д) промежуток, в котором функция возрастает, убывает; е) область определения и область значений функции.

Question 1

Задача Задача №2470022

А

Аноним

11 декабря 2024 10:44 · публичный вопрос

А

Аноним 11 декабря 2024 10:44

Постройте график функции у = -x2- 2× + 3. Найдите с помощью графика: а) значение у, при х = -2,x = 0,5; 6) значение х, при у = 2; в) нули функции; г) промежутки в которых у > 0 и в которых у < 0; д) промежуток, в котором функция возрастает, убывает; е) область определения и область значений функции.

Answer

Для анализа функции \( y = -x^2 - 2x + 3 \) сначала определим ее характеристики и построим график.

Парабола: Данная функция представляет собой параболу, расположенную "вниз", поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (-1).
Вершина параболы. Для нахождения координат вершины используем формулы: \[ x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a}, \quad y_{\text{в}} = -\frac{D}{4a} \] где \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a = -1, b = -2, c = 3 \).

\[ D = (-2)^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16 \] \[ x_{\text{в}} = -\frac{-2}{2 \times -1} = 1 \]

Теперь найдем \( y \): \[ y_{\text{в}} = -\frac{16}{4 \times -1} = 4 \] Вершина параболы находится в точке \( (1, 4) \).
График функции: Для построения графика функции \( y = -x^2 - 2x + 3 \) возьмем несколько значений \( x \) и найдем соответствующие значения \( y \):
- \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 \)
- \( x = 0.5 \): \( y = -(0.5)^2 - 2(0.5) + 3 = -0.25 - 1 + 3 = 1.75 \)
Найти значения: а) Значения \( y \) при \( x = -2 \) и \( x = 0.5 \):
- \( y(-2) = 3 \)
- \( y(0.5) = 1.75 \)
Значение \( x \) при \( y = 2 \): \[ 2 = -x^2 - 2x + 3 \implies 0 = -x^2 - 2x + 1 \implies 0 = x^2 + 2x - 1 \] Находим корни уравнения методом дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8 \] Корни: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \] Значения \( x \) при \( y = 2 \) составляют: \[ x_1 = -1 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{2} \]
Нули функции: Нули функции находятся при \( y = 0 \): \[ 0 = -x^2 - 2x + 3 \implies 0 = x^2 + 2x - 3 \implies D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -3 \]
Промежутки, где \( y > 0 \) и \( y < 0 \):
- Парабола пересекает ось \( x \) в \( x = -3 \) и \( x = 1 \).
- При \( (-\infty, -3) \) и \( (1, +\infty) \) \( y > 0 \) (функция выше оси \( x \)).
- При \( (-3, 1) \) \( y < 0 \).
Возрастание и убывание функции:
- Функция возрастает на промежутке \( (-\infty, 1) \) и убывает на \( (1, +\infty) \).
Область определения и область значений функции:
- Область определения: \( x \in (-\infty, +\infty) \)
- Область значений: \( y \in (-\infty, 4] \)

Таким образом, мы получили полную характеристику функции \( y = -x^2 - 2x + 3 \).

Question 2

Постройте график функции у = -x2- 2× + 3. Найдите с помощью графика: а) значение у, при х = -2,x = 0,5; 6) значение х, при у = 2; в) нули функции; г) промежутки в которых у > 0 и в которых у < 0; д) промежуток, в котором функция возрастает, убывает; е) область определения и область значений функции.

Answer

Для анализа функции \( y = -x^2 - 2x + 3 \) сначала определим ее характеристики и построим график. 1. **Парабола:** Данная функция представляет собой параболу, расположенную "вниз", поскольку коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (-1). 2. **Вершина параболы.** Для нахождения координат вершины используем формулы: \[ x_{\text{в}} = -\frac{b}{2a}, \quad y_{\text{в}} = -\frac{D}{4a} \] где \( D = b^2 - 4ac \). В нашем случае \( a = -1, b = -2, c = 3 \). \[ D = (-2)^2 - 4 \times (-1) \times 3 = 4 + 12 = 16 \] \[ x_{\text{в}} = -\frac{-2}{2 \times -1} = 1 \] Теперь найдем \( y \): \[ y_{\text{в}} = -\frac{16}{4 \times -1} = 4 \] Вершина параболы находится в точке \( (1, 4) \). 3. **График функции:** Для построения графика функции \( y = -x^2 - 2x + 3 \) возьмем несколько значений \( x \) и найдем соответствующие значения \( y \): - \( x = -2 \): \( y = -(-2)^2 - 2(-2) + 3 = -4 + 4 + 3 = 3 \) - \( x = 0.5 \): \( y = -(0.5)^2 - 2(0.5) + 3 = -0.25 - 1 + 3 = 1.75 \) 4. **Найти значения:** а) Значения \( y \) при \( x = -2 \) и \( x = 0.5 \): - \( y(-2) = 3 \) - \( y(0.5) = 1.75 \) 5. **Значение \( x \) при \( y = 2 \):** \[ 2 = -x^2 - 2x + 3 \implies 0 = -x^2 - 2x + 1 \implies 0 = x^2 + 2x - 1 \] Находим корни уравнения методом дискриминанта: \[ D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-1) = 4 + 4 = 8 \] Корни: \[ x = \frac{-2 \pm \sqrt{8}}{2} = -1 \pm \sqrt{2} \] Значения \( x \) при \( y = 2 \) составляют: \[ x_1 = -1 + \sqrt{2}, \quad x_2 = -1 - \sqrt{2} \] 6. **Нули функции:** Нули функции находятся при \( y = 0 \): \[ 0 = -x^2 - 2x + 3 \implies 0 = x^2 + 2x - 3 \implies D = 2^2 - 4 \times 1 \times (-3) = 4 + 12 = 16 \] Корни: \[ x = \frac{-2 \pm 4}{2} \implies x_1 = 1, \quad x_2 = -3 \] 7. **Промежутки, где \( y > 0 \) и \( y < 0 \):** - Парабола пересекает ось \( x \) в \( x = -3 \) и \( x = 1 \). - При \( (-\infty, -3) \) и \( (1, +\infty) \) \( y > 0 \) (функция выше оси \( x \)). - При \( (-3, 1) \) \( y < 0 \). 8. **Возрастание и убывание функции:** - Функция возрастает на промежутке \( (-\infty, 1) \) и убывает на \( (1, +\infty) \). 9. **Область определения и область значений функции:** - Область определения: \( x \in (-\infty, +\infty) \) - Область значений: \( y \in (-\infty, 4] \) Таким образом, мы получили полную характеристику функции \( y = -x^2 - 2x + 3 \).